Hoofdmenu openen
Vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging, hier geïllustreerd voor een zeer eenvoudige vectorruimte, het platte (euclidische) vlak: een vector (blauw) wordt opgeteld bij een andere vector (rood, bovenste afbeelding). In de onderste afbeelding wordt met een factor 2 uitgerekt, wat de som oplevert.

Een vectorruimte (ook lineaire ruimte genoemd) is een centraal begrip in de lineaire algebra. Een vectorruimte is een wiskundige structuur, die wordt gevormd door een verzameling vectoren: wiskundig objecten die kunnen worden opgeteld door middel van vectoroptelling en die kunnen worden vermenigvuldigd ("geschaald") door getallen, die in deze context scalairen worden genoemd. Vaak zijn de scalairen reële getallen, maar men kan ook vectorruimten beschouwen waarin de scalairen complexe getallen, rationale getallen of heel algemeen elementen van een willekeurig veld (Belgisch) of lichaam (Nederlands) zijn. De operaties van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging moeten aan bepaalde eisen voldoen, de zogenaamde axioma's (zie onder voor een lijst). Een voorbeeld van een vectorruimte is de euclidische ruimte, die vaak wordt gebruikt om natuurkundige grootheden, zoals krachten weer te geven: elke twee krachten (van hetzelfde type) kunnen worden opgeteld met als resultaat een derde kracht, en de scalaire vermenigvuldiging van een krachtvector met een reële factor is opnieuw een andere krachtvector. In dezelfde geest, maar in meer meetkundige taal, vormen vectoren, die verplaatsingen in het vlak of in de driedimensionale ruimte weergeven, ook vectorruimten.

Vectorruimten vormen een belangrijk onderwerp van studie binnen de lineaire algebra, en zijn vanuit dit oogpunt ook goed te begrijpen, omdat vectorruimten worden gekenmerkt door hun dimensie, die - grosso modo - het aantal onafhankelijke richtingen in de ruimte specifieert. De theorie wordt verder verrijkt door aan een vectorruimte extra structuur, zoals een norm of een inwendig product, toe te kennen. Zulke vectorruimten komen van nature voor in de wiskundige analyse, vooral in de gedaante van oneindig-dimensionale functieruimten waarvan de vectoren functies zijn. Analytische problemen vragen om het vermogen te kunnen bepalen of een rij vectoren naar een bepaalde vector convergeert. Het antwoord op deze vraag kan worden gegeven door vectorruimten met aanvullende gegevens te bestuderen, meestal vectorruimten die zijn uitgerust met een gepaste topologie, die het mogelijk maakt om zaken als nabijheid en continuïteit in beschouwing te nemen. Dit soort verrijkte topologische vectorruimten, met name banachruimten en hilbertruimten, hebben een rijkere theorie.

Historisch gesproken kunnen de eerste ideeën die hebben geleid tot vectorruimten, teruggevoerd worden tot de 17e-eeuwse analytische meetkunde, matrices, stelsels lineaire vergelijkingen en euclidische vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e eeuw voor het eerst door Giuseppe Peano geformuleerd en omvat meer algemene objecten dan de euclidische ruimt. Veel van de theorie kan worden gezien als een uitbreiding van de klassieke meetkundige ideeën, zoals lijnen, vlakken en hun hogerdimensionale analoga.

Vandaag de dag vindt men vectorruimten door de gehele wiskunde, natuurwetenschappen en techniek heen. Vectorruimten vormen het geschikte lineair algebraïsche begrip om met stelsels lineaire vergelijkingen om te gaan. Ook bieden zij een raamwerk voor de fourierreeksen die worden gebruikt in algoritmen voor beeldcompressie, en bieden zij een omgeving die kan worden gebruikt voor oplossingstechnieken voor partiële differentiaalvergelijkingen. Bovendien leveren vectorruimten een abstracte, coördinaatvrije manier van omgaan met meetkundige en natuurkundige objecten, zoals tensoren, die op hun beurt het onderzoek van de lokale eigenschappen van variëteiten door linearisatietechnieken toestaan. Het begrip vectorruimte kan ook in verschillende richtingen worden veralgemeend, wat leidt tot geavanceerde begrippen in de meetkunde en de abstracte algebra.

algebraïsche
structuren

magma
halfgroep
monoïde
groep
ring / ideaal
lichaam/veld

moduul
vectorruimte
algebra

categorie
tralie
boolealgebra

Inhoud

DefinitieBewerken

Een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be)   is een verzameling van elementen aangeduid als vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling van twee vectoren, genoteerd met " ", en een scalaire vermenigvuldiging van een scalair (een element uit  ) met een vector, genoteerd met " ". Deze bewerkingen moeten voldoen aan de volgende voorwaarden.

Voor elke drie (al dan niet verschillende) vectoren   en elke twee willekeurige scalairen   geldt:

  1.   is weer een vector uit  
      is gesloten onder de optelling van vectoren
  2.  
    De optelling van vectoren is associatief.
  3. Er bestaat een element  , zo dat voor alle vectoren   geldt dat  
    Het element   wordt het neutrale element of de nulvector genoemd (men kan aantonen dat het neutrale element uniek is). Aangezien het zelden tot verwarring aanleiding geeft, schrijft men ook eenvoudigweg 0 in plaats van  
  4. Voor alle vectoren   bestaat er een vector   zo dat  
    De vector   noemt men het inverse element of de tegengestelde vector van  
  5.  
    De optelling van vectoren is commutatief.
  6.   is weer een vector uit  .
      is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging.
  7.  
    De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
  8. Als 1 het eenheidselement is van  , geldt  
    Het eenheidselement uit   is het neutrale element voor de scalaire vermenigvuldiging.
  9.  
    Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van vectoren.
  10.  
    Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van scalairen. Merk op dat met " " de optelling van twee scalairen in   wordt bedoeld. Dit is niet dezelfde optelling als de optelling van vectoren in  

De eigenschappen 1 t/m 5 zijn equivalent met de eigenschap dat   een abelse of commutatieve groep is onder de optelling. Door   te vervangen door een willekeurige ring   vormen de voorwaarden de definitie van een  -moduul; een vectorruimte is dus eigenlijk een speciaal soort moduul.

Veel gebruikte vectorruimten zijn die waarin   gelijk is aan de reële getallen   of de complexe getallen   De vectorruimte   heet dan een reële respectievelijk een complexe vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is, heet een genormeerde vectorruimte.

Voortbrengend deel, vrij deel, basis en dimensieBewerken

Men zegt dat een verzameling vectoren   een voortbrengend deel, van een vectorruimte   is, als   de kleinste vectorruimte is die   bevat. Dit houdt niet alleen in dat   alle lineaire combinaties van vectoren uit   bevat, maar ook dat alle vectoren in   lineaire combinaties zijn van vectoren uit  .

Het stelsel vectoren   heet een vrij deel als de vectoren uit   lineair onafhankelijk zijn, dus als:

 

Dit wil zeggen dat de enige lineaire combinatie van vectoren in   die nul oplevert, de combinatie is met alle coëfficiënten nul. Het gevolg is dat verschillende lineaire combinaties van vectoren in   ook verschillende vectoren voorstellen.

Een basis van   is een deelverzameling die zowel een voortbrenger van   is als een vrij deel in  . Men kan (met behulp van het keuzeaxioma) aantonen dat elke vectorruimte een basis heeft. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling van vectoren waarmee de hele vectorruimte opgebouwd kan worden (door scalaire vermenigvuldigingen en vectorsommen). In een gegeven vectorruimte   kan een basis op verschillende manieren gekozen worden, maar het aantal vectoren (kardinaliteit) in een basis van   is altijd gelijk.

Het aantal vectoren van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Intuïtief beschouwd is de dimensie van een vectorruimte het aantal onderling orthogonale richtingen waarin de vectoren kunnen variëren.

Als het lichaam   eindig is, geldt:

  • bij een eindige basis is   eindig;
  • bij een aftelbaar oneindige basis is   aftelbaar oneindig.

DeelruimteBewerken

  Zie Lineaire deelruimte voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een deelruimte (ook lineaire deelruimte genoemd) is een deelverzameling van een vectorruimte die zelf ook weer een vectorruimte over hetzelfde lichaam is. Elke vectorruimte bevat twee triviale deelruimtes: zichzelf en ook de kleinst mogelijke deelruimte, die alleen uit de nulvector bestaat.

GeschiedenisBewerken

Het begrip vectorruimte vloeit conceptueel voort uit de affiene meetkunde, via de introductie van coördinaten in het platte vlak of in de gebruikelijke driedimensionale ruimte. Rond 1636 legden de Franse wiskundigen Descartes en Fermat de basis voor de analytische meetkunde door de oplossingen van een vergelijking met twee variabelen te koppelen aan de bepaling van een tweedimensionale kromme.

Om tot een meetkundige oplossing te komen zonder gebruik te maken van coördinaten, introduceerde Bernard Bolzano in 1804 bepaalde operaties op punten, lijnen en vlakken die als voorlopers van vectoren kunnen worden gezien.[1] Dit werk werd beschouwd in het concept van de barycentrische coördinaten van August Ferdinand Möbius in 1827.[2] De beslissende stap in de definitie van vectoren was Bellavitis' definitie van het bipunt: een richtinggevend segment waarvan een van de uiteinden de oorsprong is en de ander het doel.

Vectorruimten werden in een nieuw licht geplaatst door de introductie van het complexe vlak door Jean-Robert Argand en William Rowan Hamilton en de introductie van quaternionen en biquaternionen door de laatstgenoemde; het betreft elementen van respectievelijk  ,   en  . De opvatting als lineaire combinatie gaat terug tot Laguerre in 1867, die in dat jaar stelsels lineaire vergelijkingen definieerde.

In 1857 introduceerde Cayley zijn matrixnotatie die het mogelijk maakte de notatie van lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten te harmoniseren en te vereenvoudigen.

Tegelijkertijd bestudeerde Grassmann de barycentrische calculus die was geïnitieerd door Möbius, die verzamelingen van abstracte objecten, uitgerust met operaties, beschouwde[3] Zijn werk overstijgt het raamwerk van de vectorruimten, aangezien zijn invoering van vermenigvuldiging hem naar het concept van algebra's leidde. Toch zijn de begrippen dimensie en lineaire onafhankelijkheid aanwezig, evenals het scalair (inwendig) product (1844). Het primaat van deze ontdekkingen werd door Cauchy betwist in diens publicatie Sur les clefs algébriques.

De Italiaanse wiskundige Peano, een van wiens belangrijke bijdragen de strenge axiomatisering van bestaande concepten is geweest, met name de constructie van verzamelingen, was een van de eersten die rond het einde van de 19de eeuw met de moderne definitie van vectorruimten werkten.[4]

Een belangrijke ontwikkeling van dit concept is te danken aan de constructie van functieruimten door Henri Lebesgue. Dit werd later geformaliseerd door David Hilbert en Stefan Banach (in diens proefschrift uit 1920).

Op dit moment begonnen de algebra en het nieuwe terrein van de functionaalanalyse op elkaar in te werken, met name met belangrijkste concepten zoals ruimten van  -integreerbare functies en hilbertruimten. Ook werden in die tijd de eerste studies naar oneindig-dimensionale vectorruimten uitgevoerd.

VoorbeeldenBewerken

Coördinaten- en functieruimtenBewerken

Een voorbeeld van een vectorruimte over een lichaam/veld   is de coördinatenruimte   waarvan de elementen  -tupels zijn, rijen van lengte   met  .[5] Iedere  -dimensionale vectorruimte over   is isomorf met  

Meer in het algemeen vormen functies van elke vaste verzameling Ω naar een veld   (het product van een geïndexeerde familie van gelijke vectorruimten  , met indexverzameling  ) ook vectorruimten, door de optelling en de scalaire vermenigvuldiging puntsgewijze uit te voeren. Dat wil zeggen dat de som van twee functies   en   wordt gegeven door

 

en de scalaire vermenigvuldiging door:

 

Met   wordt de verzameling bedoeld van alle functies   (zie functieruimte). Daarmee komt het cartesisch product   overeen met   De ruimte   is de ruimte van alle oneindige rijen van elementen in  . De verzameling   kan ook overaftelbaar zijn, bijvoorbeeld het interval   zodat   de ruimte is van alle functies op dit interval. Bij oneindige   wordt in veel gevallen slechts een deelruimte beschouwd, bijvoorbeeld rijen of functies met eindige drager, of de[genormeerde vectorruimten  . De verzameling functies en de norm worden in samenhang met elkaar gekozen, zodat de norm nooit oneindig wordt.

Zulke functieruimten komen in vele meetkundige situaties voor, bijvoorbeeld als   de reële lijn, een interval, of andere deelverzamelingen van   voorstelt. Veel begrippen uit de topologie en de analyse, zoals continuïteit, integreerbaarheid of differentieerbaarheid gedragen zich goed met betrekking tot de lineariteit: optellingen en scalaire veelvoud van functies, die een dergelijk eigenschap bezitten, beschikken na optelling en scalaire vermenigvuldiging nog steeds over deze eigenschap.[6] Daarom bestaat de verzameling van dergelijke functies uit vectorruimten. Zij worden meer in detail bestudeerd door gebruik te maken van de methoden uit de functionaalanalyse. Algebraïsche beperkingen leveren ook vectorruimten op: de veeltermring   (zowel een vectorruimte als een ring) wordt gegeven door de verzameling van alle polynomen, dus van willekeurige graad  :

  met de coëfficiënten  .[7]

Lineaire vergelijkingenBewerken

  Zie Lineaire vergelijking en Stelsel van lineaire vergelijkingen voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Stelsels lineaire vergelijkingen die homogeen zijn, zijn nauw verbonden aan vectorruimten.[8] De oplossingen van

 
 

worden bijvoorbeeld gegeven door drietallen   met   en   Deze drietallen vormen een vectorruimte: optellingen en scalaire veelvouden voldoen steeds aan dezelfde verhoudingen van de drie variabelen, dus zijn zij oplossingen voor het stelsel van vergelijkingen. Om lineaire vergelijkingen, zoals hierboven, compacter op te schrijven, kan men gebruikmaken van matrices, bijvoorbeeld

 

waarin

 

de matrix is die de coëfficiënten van de gegeven vergelijkingen bevat, de vector   de onbekenden bevat en   de nulvector is.

Ook de oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking vormen een vectorruimte. De vergelijking

 

bijvoorbeeld heeft als olossingen de functies

 

waarin   en   willekeurige constanten zijn.

Lichaams/velduitbreidingenBewerken

Lichaams/velduitbreidingen   ("  over  ") vormen een andere klasse van vectorruimten, met name in de algebra en de algebraïsche getaltheorie: een lichaam/veld   met een kleiner lichaam/veld   wordt onder de gegeven vermenigvuldiging en optellingsoperaties van   een  -vectorruimte.[9] De complexe getallen zijn bijvoorbeeld een vectorruimte over   Een bijzonder interessant type velduitbreiding in de getaltheorie is   de uitbreiding van de rationale getallen   met een gegeven complex getal     is het kleinste lichaam/veld dat de rationale en een gegeven complex getal   bevat. De dimensie als een vectorruimte over   is afhankelijk van de keuze van  

UitbreidingenBewerken

Een moduul is een algebraïsche structuur die erg lijkt op een vectorruimte. Een moduul is echter gedefinieerd over een ring, in plaats van over een lichaam (Ned. term; Belgisch: veld). Bij een moduul eist men dus niet dat   een lichaam (Ned. term) is, maar wel dat   een ring is. Elke vectorruimte is dus een moduul en alle eigenschappen van modulen gelden ook voor vectorruimten.

VoetnotenBewerken

  1. Bolzano, Bernard, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie, 1804
  2. Möbius, August Ferdinand, Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie, zie hier, 1827
  3. Grassmann, Hermann, Extension Theory, American Mathematical Society, Providence, R.I., isbn=978-0-8218-2031-5, 20002000
  4. Peano, Giuseppe, Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, 1888
  5. Lang, Serge (1987), hoofdstuk I.1
  6. Lang, Serge, (1993), hoofdstuk XII.3., blz. 335
  7. Lang, Serge (1987), hoofdstuk IX.1
  8. (en) Lang, Serge, 1987 hoofdstuk VI.3.
  9. Lang, Serge, (2002), hoofdstuk V.1

ReferentiesBewerken

Lineaire algebraBewerken

AnalyseBewerken

Historische referentiesBewerken

  • (fr) Stefan Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) zie hier, Fundamenta Mathematicae, ISSN 0016-2736, vol 3, 1922
  • (de) Bernard Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) zie hier, 1804
  • (de) Hermann Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik, zie hier, O. Wigand, 1844
  • (de) August Ferdinand Möbius, Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) zie hier, 1827
  • (it) Giuseppe Peano, Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva, Turijn, 1888