Halfgroep

Een halfgroep of semigroep is in de wiskunde, meer specifiek in de abstracte algebra, een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling samen met een associatieve binaire operatie. Een halfgroep is met andere woorden een associatief magma.

De formele studie van halfgroepen begon ongeveer honderd jaar geleden, in het begin van de twintigste eeuw. Sinds de jaren vijftig is de theorie van de eindige halfgroepen van bijzonder belang geweest in de theoretische informatica, vooral vanwege het natuurlijke verband tussen eindige halfgroepen en eindigetoestandsautomaten.

Definitie

Een halfgroep $(H,*)$ is een verzameling $H$ met een associatieve binaire bewerking $*:H\times H\to H$.

Het is gebruikelijk om $a*b$ te schrijven in plaats van $*(a,b)$ voor het resultaat van de bewerking $*$ toegepast op de elementen $a$ en $b$ van $H$.

De genoemde associatieve eigenschap van de bewerking houdt in dat voor alle $a,b,c\in H$ geldt:

$(a*b)*c=a*(b*c)$

Voorbeelden

• De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als $(\mathbb {N} ,+)$, vormen een halfgroep.
• De gehele getallen met de vermenigvuldiging, genoteerd als $(\mathbb {Z} ,\cdot )$, vormen een halfgroep.
• De reële getallen met de vermenigvuldiging, genoteerd als $(\mathbb {R} ,\cdot )$, vormen een halfgroep.
• De gehele getallen met de aftrekking, genoteerd als $(\mathbb {Z} ,-)$, zijn géén halfgroep, want bijvoorbeeld voor $a=5,\,b=4,c=3$ gaat de eigenschap van associativiteit niet op:

$5-(4-3)\neq (5-4)-3$

Halfgroepen in de analyse

In de operatorentheorie, een tak van de functionaalanalyse, heeft de term halfgroep gewoonlijk de betekenis van een eenparameter-halfgroep van continue lineaire transformaties van een Banachruimte. Het gaat hier eigenlijk om een heel bijzonder geval, namelijk dat van het beeld van de halfgroep $(\mathbb {R} ,\cdot \,)$ onder een homomorfisme dat continu is ten opzichte van een bepaalde topologie.