Categorie (wiskunde)

wiskunde

Dit artikel slaat op het begrip categorie uit de wiskundige categorietheorie. Voor het topologische begrip met dezelfde naam, zie categorie (topologie).

algebraïsche
structuren

magma
halfgroep
monoïde
groep
ring / ideaal
lichaam/veld

moduul
vectorruimte
algebra

categorie
tralie
boolealgebra

In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een categorie een klasse van objecten met overeenkomstige structuur, en morfismen tussen die objecten die de overeenkomst tussen de objecten symboliseren. De categorietheorie is een zeer abstracte theorie, die behoort tot de wiskundige logica, en door zijn algemeenheid toegepast kan worden op vele andere wiskundige gebieden, zoals de topologie, de verzamelingenleer, de groepentheorie en de algebra. Een aantal stellingen en definities binnen deze takken van wiskunde blijken slechts in termen van de objecten en afbeeldingen ertussen te kunnen worden uitgedrukt.

VoorbeeldBewerken

In de categorie van groepen zijn de objecten alle groepen, en de afbeeldingen zijn de homomorfismen tussen de groepen, afbeeldingen die de structuur van de groep behouden. Bij ieder homomorfisme hoort een domein, de groep waarop het homomorfisme gedefinieerd is, en een codomein, de groep waarin het homomorfisme afbeeldt. Bij elke groep bestaat het isomorfisme van die groep naar zichzelf, de identieke afbeelding die bij dat object hoort. Verder kunnen twee homomorfismen waarvan het codomein van het eerste dezelfde groep is als het domein van het tweede homomorfisme, samengesteld worden tot een nieuw homomorfisme.

DefinitieBewerken

In de hiernavolgende definitie is het belangrijk de begrippen verzameling en klasse van elkaar te onderscheiden. Het woord verzameling slaat op een klasse die klein genoeg is om een kardinaalgetal te hebben. We kunnen spreken over de "verzameling der rationale getallen" of over de "klasse der rationale getallen", maar we kunnen het alleen maar hebben over de "klasse der groepen": deze laatste klasse kan geen verzameling zijn, omdat er groepen betaan met iedere willekeurige kardinaliteit behalve 0.[1]

Een categorie   wordt gegeven door:[2]

  • een klasse   van objecten, meestal aangegeven met hoofdletters  ;
  • voor ieder geordend paar objecten   en   een verzameling   van morfismen of pijlen, meestal aangegeven met kleine letters  . Een morfisme   heeft het object   als bron en het object   als doel. Naar analogie met een afbeelding wordt het morfisme zelf vaak genoteerd met een pijl:  , en bron en doel respectievelijk genoteerd als   en   en ook aangeduid als domein en codomein. Als uit de context duidelijk is welke categorie bedoeld wordt, noteert men de verzameling   eenvoudigweg als  ; de verschillende verzamelingen morfismen zijn paarsgewijs disjunct;
  • voor ieder geordend drietal objecten   een operator samenstelling
 
die aan twee morfismen   en  , dus met   het morfisme   (uitgesproken als g na f) toevoegt, ook kortweg genoteerd als  
Van de samenstelling wordt geëist dat ze op de te verwachten wijze associatief is, dat wil uitdrukkelijk zeggen dat in de situatie  ,   en   geldt:
 ;
  • het bestaan bij ieder object   van een uniek morfisme, het identiteitsmorfisme  , dat neutraal element is voor de samenstelling, waarvoor dus voor   geldt dat   en  .

NotatieBewerken

  • Voor de verzameling homomorfismen   schrijft men ook  ,   of  
  • Het morfisme   wordt ook genoteerd als  
  • Het identiteitsmorfisme van het object   wordt ook wel aangeduid door  
  • De klasse van alle morfismen van een categorie   wordt wel genoteerd als   of  , afgeleid van het Engelse 'arrow', het Franse 'flèche' en het Duitse 'Pfeil'.

OpmerkingenBewerken

  • Er kunnen meerdere morfismen zijn met dezelfde bron en hetzelfde doel
  • De uniciteit van het identiteitsmorfisme volgt uit zijn eigenschappen, want stel dat   enig identiteitsmorfisme van   is, dan volgt:
 

De klasse van objecten en de klasse van morfismen zijn meestal te groot om formeel als verzameling te kunnen worden opgevat. Zo bestaat er bijvoorbeeld geen verzameling die alle verzamelingen bevat (zie Russellparadox), terwijl we toch graag de categorie der verzamelingen en hun onderlinge afbeeldingen willen bestuderen (zie Set hieronder). Een van de uitwegen is de creatie van het begrip "klasse" dat ruimer is dan het verzamelingenbegrip; de axiomatische verzamelingenleer van Gödel en Bernays formaliseert deze aanpak.[2]

Als de klasse der objecten en de klasse der morfismen beiden echte verzamelingen zijn, spreekt men soms van een kleine categorie.

VoorbeeldenBewerken

Onderstaande tabel geeft de standaardnamen van enkele veel bestudeerde categorieën. Met   wordt een vaste (associatieve, maar niet noodzakelijk commutatieve) ring met eenheidselement bedoeld.

Categorie Objecten Morfismen
Set Verzamelingen Afbeeldingen
Grp Groepen Homomorfismen
Ab Abelse groepen Homomorfismen
Top Topologische ruimten Continue afbeeldingen
  Linker  -modulen  -lineaire afbeeldingen

Als we   het lichaam der reële getallen nemen, dan bekomen we de categorie   der reële vectorruimten.

Als   een verzameling is en   een relatie tussen   en   die reflexief en transitief is, dan kunnen de elementen van   worden opgevat als objecten van een kleine categorie en de koppels van   als de morfismen van die categorie. Uit dit voorbeeld blijkt dat morfismen niet altijd afbeeldingen tussen verzamelingen moeten zijn, en dat de verzameling morfismen tussen twee objecten ook leeg kan zijn.

FunctorenBewerken

Zie Functor voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een functor tussen twee categorieën   en   associeert met ieder object   van   een object   van   op een manier die de samenstelling van morfismen en de identiteitsmorfismen respecteert.[1]

GeschiedenisBewerken

De grondslag voor de theorie van categorieën en functoren werd gelegd in een paper van Eilenberg en MacLane[3] uit 1945. Verdere ontwikkeling begon ongeveer tien jaar later.[2]

Algemene ReferentiesBewerken

Externe linksBewerken