Lineaire combinatie

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie $w$ van eindig veel elementen $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ uit een vectorruimte $V$ over een Lichaam (Ned) / veld (Be) $K$, een som van veelvouden van deze elementen. Meer precies heet $w$ een lineaire combinatie van $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ als:

$w=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\dots +a_{n}u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\qquad \quad \mathrm {met} \quad a_{i}\in K$

De lineaire combinaties van de vectoren $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ vormen juist de lineaire deelruimte die door die vectoren wordt voortgebracht.

Ook voor een willekeurige deelverzameling $U\subset V$ heet $w$ een lineaire combinatie van $U$ als $w$ een lineaire combinatie is van eindig veel elementen uit $U$. De lineaire combinaties van de vectoren uit $U$ vormen in dit geval de lineaire deelruimte die door $U$ wordt voortgebracht.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Laat het lichaam $K$ de verzameling $\mathbb {R}$ van de reële getallen zijn en laat de vectorruimte $V$ de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{3}$ zijn. Beschouw de vectoren

$e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0)$ en $e_{3}=(0,0,1)$.

Dan is iedere vector in $\mathbb {R} ^{3}$ een lineaire combinatie van $e_{1},e_{2}$ en $e_{3}$. Neem om dit in te zien een willekeurige vector $a=(1,2,3)\in \mathbb {R} ^{3}$ en schrijf:

$a=(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.$

De vector $e_{3}$ is echter geen lineaire combinatie van $e_{1}$ en $e_{2}$. Er zijn namelijk geen getallen $a_{1}$ en $a_{2}$ waarvoor

$e_{3}=(0,0,1)=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)=(a_{1},a_{2},0)$