Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze kunnen worden uitgevoerd. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam/veld.

Definitie

bewerken

Een lichaam/veld is een verzameling met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is. Het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling, de optelling en de vermenigvuldiging zijn beide associatief en commutatief en de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal   bestaande uit een niet-lege verzameling   waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen   en   uit   noteert men meestal met   en de vermenigvuldiging van   en   met   of korter met  . De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met   of   en het product dienovereenkomstig met   of  .

Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld   ook worden gedefinieerd door:

  •   is een commutatieve groep
  •   is een commutatieve groep
  • de bewerking   is distributief over de bewerking  .

Voorwaarden en eigenschappen

bewerken

De optelling en de vermenigvuldiging moeten aan de volgende voorwaarden voldoen.

  1. Voor alle elementen   en   in  , behoren ook   en   tot  .
      is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging.
  2. Voor alle elementen   en   in  , is
      en  .
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
  3. Er bestaat in   een element   zodat voor alle   uit   geldt:
     
    Het element   heet het neutrale element voor de optelling of ook de additieve identiteit in  .
  4. Voor elk element   in   bestaat er een element   in  , zodat
      en  
    Ieder element in   heeft een invers element voor de optelling.
  5. Voor alle elementen   en   in   geldt
     .
    De optelling is commutatief.
  6. Voor alle elementen   en   in   is
     
    De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
  7. Er bestaat in   een element   zodat voor elk element   in   geldt:
     
    Het element   is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van   genoemd.
  8. Voor elk element   in   verschillend van   bestaat er een element   in   zodat
     
    Elk element in   ongelijk aan   heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
  9. Voor alle elementen   en   in   geldt
     .
    De vermenigvuldiging is commutatief.
  10. De additieve en de multiplicatieve identiteit zijn verschillend,   is niet gelijk aan  .

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die één element bevat ook een lichaam/veld zijn en dat is niet de bedoeling.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat   een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel onder voorwaarde 9 dat de vermenigvuldiging commutatief is, dan is er sprake van een delingsring/lichaam.

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en 7, 8 en 9 overeenkomstige voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil nemen, aftrekken wordt gedefinieerd door

 

De deling door een element ongelijk aan nul wordt gedefinieerd door

 

We kunnen bewijzen dat voor elk lichaam/veld geldt dat   voor willekeurige  . Daarom bestaat vanwege voorwaarde 10 geen inverse van   (want dan zou   moeten gelden) en is delen door nul dus niet mogelijk.

Er bestaat een hierarchie tussen de volgende ring-achtige algebraïsche structuren:

Lichamen/velden   euclidische domeinen   hoofdideaaldomeinen   unieke factorisatiedomeinen   integriteitsgebieden   commutatieve ringen   ringen

Voorbeelden

bewerken
  • Ieder element behalve 0 heeft in een lichaam een inverse voor de vermenigvuldiging, dus kunnen er geen nuldelers zijn.
Als   en   is  .
  • De reële getallen  , de rationale getallen   en de complexe getallen   vormen met de gewone optelling en vermenigvuldiging een lichaam/veld.
  • De gehele getallen   vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen voor de vermenigvuldiging geen invers element hebben.
  • Als   een lichaam/veld is, vormen de rationale functies in   variabelen over   op hun beurt een lichaam/veld.
  • De restklassen modulo   vormen als   een priemgetal is een eindig lichaam/veld.

Deellichaam/deelveld

bewerken

Een deellichaam/deelveld van een lichaam/veld is een deelverzameling, die de elementen 0 en 1 bevat en is gesloten met betrekking tot optelling, tegengestelde nemen, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam/veld.

Voorbeelden:

  • De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
  • De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
  • Het eindige lichaam/veld  , met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van  , dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element   en daarmee ook   bevat. Voor het speciale element   geldt  . Er wordt modulo 2 gerekend.

Geordend lichaam/veld

bewerken

Een geordend lichaam/veld is een lichaam/veld met een compatibele totale orde, wat wil zeggen dat voor de bijbehorende strikte totale orde '<' geldt:

  • als  , dan is  
  • als   en  , dan is  

Eigenschappen

bewerken
  • Een eindig lichaam/veld kan geen geordend lichaam/veld zijn.
  • Een deellichaam/deelveld van een geordend lichaam/veld is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam/veld.

Voorbeelden

bewerken
  • reële getallen
  • De volgende deellichamen/deelvelden van de reële getallen:
    • algebraïsche getallen
    • de doorsnede van alle deellichamen/deelvelden van de reële getallen die   bevatten, dus alle getallen van de vorm   met   en   rationale getallen
    • rationale getallen

Literatuur

bewerken