Hoofdmenu openen
Zie artikel Het begrip tensor heeft veelvuldige toepassingen in de differentiaalmeetkunde en daardoor ook in de materiaalkunde (vervorming van voorwerpen) en de relativiteitstheorie. Voor een behandeling van tensoren in dat kader, zie tensor (relativiteitstheorie).

Tensoren zijn wiskundige objecten uit de lineaire algebra en de differentiaalmeetkunde die beschouwd kunnen worden als generalisatie van vectoren en matrices. Zij vinden hun oorsprong in de natuurkunde en werden pas later in de wiskunde gepreciseerd. Tensoren zijn de centrale objecten in de algemene relativiteitstheorie. Augustin-Louis Cauchy was een van de wiskundigen die in 1822 de basis legde voor de tensorrekening.

DefinitiesBewerken

Er zijn verschillende definities van het begrip tensor. Hoewel ze op het eerste gezicht zeer verschillend zijn, beschrijven ze toch hetzelfde meetkundige concept, zij het in verschillende termen en niveaus van abstractie.

Tensoren worden ingedeeld naar type  , met   en   niet-negatieve gehele getallen. Daarvan duidt het getal   op het aantal zogenaamde contravariante indices en   op het aantal covariante indices. In totaal zijn er zo   indices, die elk   waarden kunnen aannemen, met   de dimensie van de ruimte. Een tensor van type   wordt gegeven door   getallen, namelijk één getal voor elke combinatie van indexwaarden.

Afhankelijk van de context wordt met een tensor vaak een entiteit op zichzelf bedoeld, onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Als een tensor wordt gegeven door de   getallen, moet men er dus bijzeggen voor welk coördinatenstelsel deze gelden. Voor een ander coördinatenstelsel, met toepassing van een basistransformatie van de onderhavige vectorruimte, kan men de getallen omrekenen. De termen contravariant en covariant geven daarbij aan hoe de betrokken indices getransformeerd moeten worden.

Met de term tensor wordt vaak ook bedoeld een tensorveld, dat wil zeggen een tensor afhankelijk van positie of ruimtetijdpositie.

Als meerdimensionale rijBewerken

Een vector   is voor te stellen als een eendimensionale getallenrij   die samen met de bijbehorende geordende basis   de vector bepaalt:

 ,

waarin de laatste uitdrukking volgens de einstein-sommatieconventie hetzelfde betekent als de daaraan voorafgaande som.

Analoog is een  -matrix   een tweedimensionale getallenrij  , waarin   het element van   is op de  -de rij en in de  -de kolom. De matrix   stelt een afbeelding voor die de basisvector   afbeeldt op de beeldvector

 

Een tensor  , als generalisatie van deze begrippen, is een meerdimensionale getallenrij. Voor   dimensies wordt het element met indices   aangegeven door:

 

Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen de zogeheten contravariante indices, die als bovenindices genoteerd worden en covariante indices, genoteerd als onderindices. Een dergelijke tensor wordt van het type   genoemd, met   dus het aantal contravariante indices, en   het aantal covariante.

Bij overgang op nieuwe basisvectoren  , gegeven in termen van de oude door

 

worden de coördinaten   van de vector   met betrekking tot de nieuwe basis bepaald door:

 

De coördinaten transformeren dus tegengesteld (via  ) aan de basisvectoren die via   transformeren. De vector heet daarom contravariant en de indices van de coördinaten eveneens contravariant. Zij worden genoteerd als bovenindices. Een contravariante vector is daarmee een tensor van type (1,0).

Voor de getransformeerde matrix   geldt:

 

De elementen van   worden dus gegeven door:

 

De rij-indices van de matrixelementen transformeren dus via  , dus contravariant, en de kolomindices via  , dus covariant. Daarom is de rij-index als bovenindex geschreven en de kolomindex als onderindex. Een matrix is dus een tensor van type (1,1).

De elementen van de tensor

 

van type  , worden dus als volgt getransformeerd:

 .

Als multilineaire afbeeldingBewerken

Deze definitie beschouwt een tensor als een multilineaire afbeelding. Een tensor van type   is een afbeelding:

 

die lineair is in elk van z'n argumenten. Daarbij is   een vectorruimte en   de bijbehorende duale vectorruimte.

De tensor   van type   beeldt een combinatie van elementen van de basis   van   en elementen van de bijbehorende canonieke duale basis   van   af op:

 ,

een  -dimensionale rij coördinaten (vaak ook componenten genoemd) van  .

In de vorm van een tensorproductBewerken

  Zie Tensorproduct voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Tensors worden ingevoerd als elementen van het tensorproduct van twee of meer vectorruimten. Dit tensorproduct wordt voortgebracht door het tensorproduct van de basisvectoren van elk van die ruimten. Als   de vectorruimten over eenzelfde lichaam (Ned) / veld (Be)   zijn en   bases van deze ruimten zijn, wordt het tensorproduct van de ruimten   genoteerd als

 

Dit tensorproduct heeft een basis die bestaat uit de tensorproducten van de vectoren uit de bases  :

 

Deze tensorproducten vormen een nieuw soort elementen, die op formele wijze een combinatie zijn van de basisvectoren.

In het bijzonder heeft het  -voudige tensorproduct van   met zichzelf

 

de natuurlijke basis

 

Een  -de orde tensor   uit dit tensorproduct heeft ten opzichte van de natuurlijke basis de componenten

 

Als de vectorruimte   dimensie   heeft, dan zijn er   dergelijke componenten, te rangschikken in een  -dimensioniale hyperkubus van getallen.

Analoog worden ook de elementen van de tensorproducten van de duale vectorruimte  , tensoren genoemd. Om onderscheid te maken, worden de basisvectoren van   meestal met bovenindices genoteerd (zoals boven ook al gedaan), zodat de componenten van een "duale" tensor onderindices krijgen, bijvoorbeeld

 

Een tensor van de orde   is dan een element van het tensorproduct:

 

Identificatie van vectorruimte en duale vectorruimteBewerken

Een vectorruimte met een niet-gedegenereerde bilineaire vorm   wordt op canonieke wijze geïdentificeerd met zijn eigen duale vectorruimte. Zij   een willekeurige vector van  . Dan is de afbeelding

 

lineair, dus een element van de duale ruimte  . De afbeelding

 

is een isomorfisme van vectorruimten.

Boven kozen we de basisvectoren   van de duale ruimte zo dat  , zodat  , maar in plaats daarvan kunnen we hier ook   kiezen, zodat  .

Het omgekeerde isomorfisme van vectorruimten wordt bekomen door de inverse van de matrix   te berekenen, men noteert hem met bovenindices:

 

Het feit dat de matrices   en   elkaars inverse zijn, uit zich in de formule

 

SymmetrieBewerken

In sommige gevallen is een tensor symmetrisch of antisymmetrisch. Voor een symmetrische tensor geldt:  . Voor een antisymmetrische tensor geldt  . In het algemeen is een tensor noch symmetrisch, noch antisymmetrisch.

Elke tensor   heeft een symmetrisch deel   en een antisymmetrisch deel  , bepaald door

  •  
  •  

Het symmetrische en antisymmetrische deel van een tensor bevatten samen evenveel informatie als de originele tensor.

Deze regels kunnen uitgebreid worden voor tensoren van willekeurige orde (zie externe links).

Voorbeeld: type (0,0)Bewerken

Een (0,0)-tensor wordt gegeven door één getal, met de eenheid. Het getal met eenheid is onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Het is een scalair in de meest strikte zin, ook strikter dan een lorentzscalair.

Volgens de systematiek om een tensor te beschouwen als een lineaire afbeelding is de tensor een lineaire afbeelding van de verzameling 0-tupels naar de verzameling reële getallen. De verzameling 0-tupels heeft één element; als een tupel wordt gezien als een afbeelding van de indexverzameling naar  , is dit element de lege functie. Een (0,0)-tensor is een afbeelding van de verzameling met dit ene element naar de verzameling reële getallen en wordt dus gegeven door één reëel getal. De afbeelding is "lineair in elk van zijn nul argumenten", niet te verwarren met een afbeelding die lineair is in dit domein gezien als vectorruimte, want dan zou de waarde nul zijn.

Voorbeeld: type (1,0)Bewerken

Een tensor van type (1,0) is een gewone vector over het lichaam (Ned) / veld (Be)  . Hij heeft één contravariante index (in tensornotatie genoteerd als bovenindex) die   waarden kan aannemen, met   de dimensie van de ruimte. Zo'n tensor wordt voor een gegeven basis dus gegeven door   getallen, kentallen of coördinaten genoemd. De vector wordt veelal opgevat als kolomvector met deze getallen. Voor een coördinatenstelsel met een andere basis kan men de getallen omrekenen met behulp van de vierkante matrix   die bij de basistransformatie hoort:

  (contravariant omrekenen)

Volgens de systematiek om een tensor te beschouwen als een lineaire afbeelding is de tensor een lineaire afbeelding

 

Daarbij is   de duale vectorruimte behorende bij een vectorruimte  , die uit alle lineaire functionalen op   bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar  .

Als een basis van   wordt gekozen wordt de tensor gegeven door   getallen, verkregen door de tensor op de betreffende basisvectoren toe te passen:

 

Voorbeeld: type (0,1)Bewerken

Een tensor van type (0,1) is een lineaire functionaal

 

Als een basis van   wordt gekozen wordt de tensor gegeven door   getallen, verkregen door de tensor op de basisvectoren toe te passen:

 

Er is dus één covariante index (genoteerd als onderindex) die   waarden kan aannemen, met   de dimensie van de ruimte.

Voorbeeld: type (0,2)Bewerken

Een tensor van type (0,2) is een bilineaire afbeelding

 

Daarbij is   een vectorruimte.

De tensor   beeldt een combinatie van twee elementen van de basis   van   af op  

 

Het tensorproduct   heeft een basis die bestaat uit de   tensorproducten  

Een belangrijk voorbeeld van een tensor van dit type is de metrische tensor  .

TensoranalyseBewerken

Met een tensor van een bepaald type kan voor elk ander type een tensor van dat andere type geassocieerd worden, die daar op een vaste manier van afgeleid wordt. Deze verschillende tensoren kunnen in de notatie als component die afhangt van indices geschreven worden met dezelfde letter, want de posities van de indices geven het onderscheid aan. Aangezien een tensor een entiteit is die onafhankelijk is van coördinaten/basisvectoren is het echter vaak handig om deze te beschouwen als afbeelding (zoals boven beschreven). Het onderscheid moet dan op andere wijze worden aangegeven, bijvoorbeeld met verschillende letters. Bij het omzetten van de ene tensor in de andere staan één vaste tensor, de metrische tensor  , en zijn inverse  , centraal:

  • Indices verlagen: een superscriptindex kan een subscriptindex worden:
 
 
  • Indices verhogen: een subscriptindex kan een superscriptindex worden:
 
 
  • Contractie of verkleinen van een tensor kan door twee indices gelijk te stellen:
 
  • Twee indices verlagen:
 
  • Twee indices verhogen:
 

Merk op dat   in het algemeen niet de inverse is van  , dit geldt alleen voor de metrische tensor. Als we bijvoorbeeld   met twee vermenigvuldigen dan wordt   ook met twee vermenigvuldigd, niet door twee gedeeld.

Uit   volgt  .

Uitgaande van   kunnen we dus construeren   (en omgekeerd), en vervolgens  

Uitgaande van   kunnen we construeren   (en omgekeerd), en vervolgens  , bijvoorbeeld  , en vervolgens  .

P-tensorBewerken

Een voorbeeld van een veel gebruikte tensor in topologische stringtheorie is de P-tensor. Deze heeft de volgende bijzondere eigenschap:

 

De tensor is een symmetrische tensor van de tweede orde, waarbij de componenten tussen nul en een liggen. De P-tensor komt voor bij de beschrijving van het "parameter-landschap" van het standaardmodel.

NotatieBewerken

De notatie van tensoren varieert. Misner, Charles W., Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald: Gravitation, Freeman, San Francisco, 1970 en latere uitgaven bevat een overzicht van de verschillende notaties.

Zie ookBewerken

Externe linkBewerken