Cartesisch product

Cartesisch product van de verzamelingen en

In de verzamelingenleer is het cartesisch product of de productverzameling van twee verzamelingen de verzameling van alle koppels of geordende paren waarvan het eerste element uit de eerste verzameling en het tweede uit de tweede verzameling komt.

DefinitieBewerken

Het cartesisch product van de twee verzamelingen   en   wordt genoteerd als   en is gedefinieerd door:

 .


Het cartesisch product is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige René Descartes. Hij ontdekte dat een punt in een vlak kon worden gezien als een getallenpaar. In moderne notatie maakte hij het vlak equivalent met  .

VoorbeeldBewerken

Voor   en  , is:

 .

EigenschappenBewerken

  • Het cartesisch product van een willekeurige verzameling met de lege verzameling is de lege verzameling
  • Als   en   eindige verzamelingen zijn, is het aantal elementen van   gelijk aan het product van het aantal elementen van   en het aantal elementen van  :  .
  • Als   of   oneindig is, en de andere verzameling is niet leeg, dan is   oneindig.
  • Er geldt in het algemeen niet dat  . Tussen beide producten bestaat wel een canonieke bijectie, nl. de omkering van elk koppel.

Herhaald cartesisch productBewerken

Het product   is weer een verzameling, en daarmee kan dus het product met een derde verzameling   gevormd worden:

 

Anderzijds bestaat ook het product van   met de productverzameling  :

 

Formeel zijn deze twee verzamelingen verschillend, maar ze staan wel op canonieke wijze in bijectief verband:

 

In de meeste wiskundige theorieën die gebruikmaken van producten, is het formele onderscheid tussen deze twee verzamelingen van weinig belang. Men laat dan een stel haakjes vallen en noteert

 

De elementen van   heten geordende drietallen of tripels. Op analoge wijze definieert men het product van vier verzamelingen met als elementen quadrupels, het product van vijf verzamelingen dat bestaat uit quintupels, enz.

Door inductie bestaat het cartesisch product van   verzamelingen uit alle geordende  -tupels (of kortweg tupels) waarvan de  -de component tot de  -de verzameling behoort:

 .

Het cartesisch product van één verzameling is bij afspraak die verzameling zelf, dus een 1-tupel wordt geïdentificeerd met de enige component waaruit het bestaat. Het cartesisch product van nul verzamelingen is het singleton bestaande uit het 0-tupel   (dit product is dus niet de lege verzameling!).

Is een cartesisch product gevormd met steeds dezelfde verzameling, dan wordt het geschreven met een exponentiële notatie:

  enz.

Product van een willekeurig grote familie verzamelingenBewerken

Een  -tupel kan worden opgevat als een afbeelding van de getallenverzameling   naar de vereniging van de betrokken verzamelingen:

 ,

met als eigenschap dat:

 .

De functie   wordt dan geïdentificeerd met het  -tupel

 

Het herhaald cartesisch product van de   verzamelingen   is dan de verzameling van die functies.

Met dit formalisme kan het cartesisch product veralgemeend worden tot het geval van een eventueel oneindige familie van verzamelingen.

Zij   een familie verzamelingen, geïndexeerd door een verzameling  , die niet noodzakelijk een getallenverzameling hoeft te zijn. Ze kan leeg zijn, of eindig en niet leeg, of oneindig en zelfs overaftelbaar.

Het cartesisch product van de familie is de verzameling van alle afbeeldingen van de indexverzameling naar de vereniging van de familie die elke index binnen het overeenkomstige lid van de familie afbeelden:

 

Een bijzonder geval krijgen we, wanneer   voor alle  . Dan is de productverzameling de verzameling van alle afbeeldingen van   naar  . Deze krijgt de intuïtief duidelijke notatie  .

ProjectieBewerken

Met het cartesisch product   van 2 verzamelingen associëren we twee projecties

 
 

Met een algemeen (herhaald of oneindig) cartesisch product wordt een stel afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. De  -de projectie is

 

In de cartesiaanse meetkunde op   komen deze projecties overeen met de twee meetkundige projecties   en   parallel met de coördinaat-assen.

DatabankenBewerken

Bij relationele databanken wordt met het commando "join" van twee tabellen het cartesisch product gemaakt.