Cartesisch product

In de verzamelingenleer is het cartesische product of de productverzameling van twee verzamelingen de verzameling van alle koppels of ook geordende paren waarvan het eerste element uit de eerste verzameling en het tweede uit de tweede verzameling komt.

Cartesisch product van de verzamelingen en

Definitie bewerken

Het cartesische product van de twee verzamelingen   en   wordt genoteerd als   en is gedefinieerd als een verzameling koppels, als volgt:

 

Het cartesische product is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige René Descartes. Hij ontdekte dat een punt in een vlak kon worden gezien als een getallenpaar. In moderne notatie maakte hij het vlak equivalent met  .

Voorbeeld bewerken

Voor   en  , is:

 

Herhaald cartesisch product bewerken

Het product   is weer een verzameling, en daarmee kan dus het product met een derde verzameling   worden gevormd:

 

Anderzijds bestaat ook het product van   met de productverzameling  :

 

Deze twee verzamelingen zijn volgens de definitie verschillend, maar er is wel een bijectie tussen de twee:

 

Het verschil tussen deze twee is in de meeste wiskundige theorieën waarin met het cartesische product van verzamelingen wordt gerekend van weinig belang. Men laat dan een stel haakjes vallen en noteert

 

De elementen van   heten geordende drietallen. Zo ontstaan de tupels. Een tupel met   elementen heet een  -tupel. Door inductie bestaat het cartesische product van   verzamelingen uit alle geordende  -tupels waarvan de  -de component tot de  -de verzameling behoort:

 

Het cartesische product van één verzameling is bij afspraak die verzameling zelf, dus een 1-tupel wordt geïdentificeerd met de enige component waaruit het bestaat. Het cartesische product van nul verzamelingen is het singleton met alleen het 0-tupel   als element. Dit product is dus niet de lege verzameling.

Is een cartesisch product gevormd met steeds dezelfde verzameling, dan wordt het geschreven met een exponentiële notatie:

  enzovoort

Product van willekeurig veel verzamelingen bewerken

Een  -tupel kan worden opgevat als een afbeelding van de getallenverzameling   naar de vereniging van de betrokken verzamelingen:

 ,

met als eigenschap dat:

 

De functie   wordt dan geïdentificeerd met het  -tupel

 

Het herhaalde cartesische product van de   verzamelingen   is dan de verzameling van die functies.

Zij   een familie verzamelingen geïndexeerd door een verzameling  , die niet noodzakelijk een getallenverzameling hoeft te zijn. Ze kan leeg zijn, of eindig en niet leeg, of oneindig en zelfs overaftelbaar.

Het cartesische product van deze familie is de verzameling van alle afbeeldingen van de indexverzameling naar de vereniging van de familie die elke index binnen het overeenkomstige element van de familie afbeelden:

 

Een bijzonder geval krijgt men, als   voor alle  . Dan is de productverzameling de verzameling van alle afbeeldingen van   naar  . Deze krijgt de intuïtief duidelijke notatie  .

Projectie bewerken

Met het cartesische product   van twee verzamelingen associëren we twee projecties

 
 

Met een algemeen herhaald of oneindig cartesisch product wordt een stel afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. De  -de projectie is

 

In de cartesiaanse meetkunde op   komen deze projecties overeen met de twee meetkundige projecties   en   evenwijdig met de coördinaat-assen.

Eigenschappen bewerken

  • Het cartesische product van een willekeurige verzameling met de lege verzameling is de lege verzameling
  • Als   en   eindige verzamelingen zijn, is het aantal elementen van   gelijk aan het product van het aantal elementen van   en het aantal elementen van  :  .
  • Als   of   oneindig is, en de andere verzameling is niet leeg, dan is   oneindig.
  • Er geldt in het algemeen niet dat  . Dat is alleen het geval wanneer  . Tussen beide producten bestaat wel een bijectie, namelijk de omkering van elk paar.

Voorbeelden bewerken