Hoofdmenu openen
algebraïsche
structuren

magma
halfgroep
monoïde
groep
ring / ideaal
lichaam/veld

moduul
vectorruimte
algebra

categorie
tralie
boolealgebra

In de wiskunde, met name de abstracte algebra, en in de informatica is een booleaanse algebra of boolealgebra een algebraïsche structuur met de logische operatoren AND (en), OR (of) en NOT (niet). Deze operatoren zijn direct gerelateerd aan de begrippen doorsnede, vereniging en complement uit de verzamelingenleer.

Zo is het logische "uitgesloten derde", dat stelt dat een uitspraak waar is of onwaar, equivalent met de regel dat de vereniging van een verzameling en z'n complement alle in het geding zijnde elementen bevat.

.

Complementair daaraan is de logische vaststelling dat een uitspraak en z'n ontkenning niet samen waar kunnen zijn. Dit wordt voor verzamelingen weerspiegeld in de regel dat een verzameling en z'n complement geen gemeenschappelijk element hebben.

.

De booleaanse operatoren zijn genoemd naar de Brit George Boole, die ze in het midden van de 19e eeuw invoerde. Een booleaanse algebra is een poging om algebraïsche technieken te gebruiken teneinde te kunnen omgaan met logische uitdrukkingen. Booleaanse algebra's vinden bijvoorbeeld toepassing in het samenstellen van digitale elektronische schakelingen, zoals die in computers worden gebruikt. In de praktijk kan men de werking ervan onder meer zien in sommige zoeksystemen voor internetpagina's.

Inhoud

DefinitieBewerken

Een booleaanse algebra of boolealgebra bestaat uit een verzameling   die ten minste twee verschillende elementen 0 (onwaar, logische FALSE) en 1 (waar, logische TRUE) bevat, en die voorzien is van twee binaire bewerkingen   (en, logische AND, ook genoteerd als   of  ) en   (of, logische OR, ook genoteerd als  ), en een unaire bewerking   (niet, logische NOT), die voldoen aan de volgende axioma's voor alle  :

associativiteit

 
 

commutativiteit

 
 

absorptie

 
 

distributiviteit

 
 

complement

 
 

De eerste drie paren axioma's, associativiteit, commutativiteit en absorptie, houden in dat het drietal   een tralie is.

Uit de axioma's volgt dat in de partiële ordening van het tralie 0 het kleinste element is en 1 het grootste element. (Die partiële ordening wordt bepaald door de relatie  .)

Verder volgt uit de axioma's dat het complement   van een element   eenduidig bepaald is en dat:

idempotentie

 
 

kleinste en grootste elementen

 
 
 
 

complementen

 
 

regels van de Morgan

 
 

involutie

 .

Veel gebruikte Engelse benamingen zijn:

naam Engelse naam symbolen
en meet, and    
of join, or    
niet not    
onwaar false 0
waar true 1

Andere bewerkingen zijn:

naam Engelse naam symbool
niet-en nand  
niet-of nor  
exclusieve of xor  

NotatieBewerken

Soms wordt vanwege een zekere mate van overeenkomst een + gebruikt voor   en een   voor  . Voor wie bekend is met getallenalgebra schept deze notatie verwarring, omdat deze symbolen, die ook in getallenalgebra worden gebruikt, hier een andere betekenis hebben.

+   betekent OR (OF)
·    betekent AND (EN)
  betekent NOT   (NIET)

Een booleaanse algebra werkt met variabelen die slechts de waarden 0 en 1 aannemen. Voorbeelden van vergelijkingen:

 
 
 

Soms wordt ook een vierde booleaanse operator gehanteerd, de exclusive OR - XOR (EXCLUSIEVE OF, of exclusieve disjunctie), gedefinieerd door de regel

 

(ook te schrijven als  )

De operator   gedraagt zich ongeveer als de klassieke getallenoperator  , weliswaar met de eigenaardigheid dat  

Een volledig stel logische uitdrukkingen wordt gemodelleerd door een algebra van verzamelingen. Het is, in de formele zin, een associatieve algebra met eenheidselement over het lichaam (in België: veld)   met de bewerkingen   en  

VoorbeeldenBewerken

De eenvoudigste booleaanse algebra bestaat slechts uit de elementen 0 en 1. De rekenregels volgen uit de axioma's:

  0 1
0 0 0
1 0 1
  0 1
0 0 1
1 1 1
 a    a
0 1
1 0

Een ander voorbeeld van een booleaanse algebra wordt gevormd door de machtsverzameling van een gegeven verzameling   met de bekende bewerkingen vereniging, doorsnede en complement.

Zie ookBewerken