Hoofdmenu openen

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

In de differentiaalmeetkunde en relativiteitstheorie wordt het woord metriek gebruikt om te refereren aan een metrische tensor. De ruimte is daarbij in veel gevallen geen metrische ruimte, doordat een deel van de definiërende eigenschappen daar niet gelden.

Inhoud

DefinitieBewerken

Een metriek of afstand op een verzameling   is een afbeelding   die aan de volgende axioma's voldoet.

Voor willekeurige   geldt:

  (niet-negativiteit).
  (scheidingseigenschap).
  (symmetrie).
  (de driehoeksongelijkheid).

Voor twee elementen   is   de afstand van   tot  . Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van   tot   gelijk is aan de afstand van   tot  , zodat men eenvoudig van de afstand tussen   en   kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg.

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet   een pseudometriek. In dat geval kunnen er elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een (pseudo)afstand 0 tot elkaar hebben.

VoorbeeldenBewerken

Een belangrijk voorbeeld van een metriek op   is de gewone metriek (de euclidische afstand):

 ,

waarbij voor  :

 
 
Oude isochrone kaart van Melbourne met betrekking tot reizen per spoor, incl. aansluitend lopen

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen   met:

  (de modulus van  ).

Een ander voorbeeld van een metriek op   is de 'Manhattan blokmetriek':

 .

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Meer algemeen kan men bij een netwerk van wegen met tweerichtingsverkeer de afstand tussen twee punten op het netwerk definiëren als de kortste afstand over de weg. Als de snelheid waarmee men zich verplaatst, hoewel eventueel afhankelijk van de positie, steeds in tegenovergestelde richting gelijk is, kan men de "afstand" ook definiëren als de kortste reistijd. Een daarbij behorende sfeer heet een isochroon. Een isochrone kaart toont isochronen ten opzichte van een centraal punt.

Discrete metriekBewerken

  Zie discrete metriek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een willekeurige verzameling   is de afbeelding   die elk identiek puntenpaar   op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek genoemd wordt. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Metriek op een vectorruimteBewerken

Uitgaande van een norm   op een genormeerde vectorruimte   kan de volgende metriek worden gedefinieerd:

 

Deze metriek wordt de door de norm geïnduceerde metriek genoemd. Zie bijvoorbeeld (hierboven) de geïnduceerde metriek op  .

Omgekeerd induceren metrieken die zowel homogeen als translatie-invariant zijn, een norm op een vectorruimte. Een metriek   op een vectorruimte   heet homogeen, als

 ,

en translatie-invariant als

 .

Een dergelijke metriek induceert een norm op   door de definitie

 

Translatie-invariante metriekBewerken

Meer algemeen dan hierboven behandeld is een metriek op een abelse groep translatie-invariant als die slechts afhangt van het verschil van de beide elementen. Een dergelijke metriek is geheel bepaald door de afstanden tot 0. Dit kan ook zo worden uitgedrukt dat iedere translatie een isometrie is.

Absolute waardeBewerken

Op een integriteitsdomein (al of niet met 1) met absolute waarde kan een translatie-invariante metriek gedefinieerd worden door de absolute waarde als afstand tot 0 te beschouwen.

P-adische normBewerken

Een speciaal geval van een absolute waarde is, voor elk priemgetal  , de  -adische norm (geen echte norm). De bijbehorende translatie-invariante metriek is die van de  -adische getallen

UltrametriekBewerken

Een ultrametriek is een metriek met een sterkere driehoeksongelijkheid, namelijk

  (ultrametrische ongelijkheid).

Een voorbeeld is, voor elk priemgetal  , de bovengenoemde translatie-invariante metriek van de  -adische getallen.

Een ander voorbeeld is de bovengenoemde discrete metriek.

Bij (onder meer) een ultrametriek heeft lengte geen duidelijke betekenis, zelfs niet in een eenvoudig eendimensionaal geval, zoals de lengte van een lijnstuk. De afstand van het begin tot het eind is dan niet te interpreteren als de lengte van een kortste route die de som is van de lengtes van delen van de route.

Ook is het zo dat als een punt ligt op een lijnstuk waarvan de uiteinden een kleine afstand tot elkaar hebben, dit niet impliceert dat een punt op het lijnstuk een kleine afstand heeft tot de uiteinden.

Equivalentie van metriekenBewerken

Twee metrieken   en   op een verzameling   zijn equivalent, als er getallen   bestaan zodat voor alle   geldt:

  en  

VoorbeeldenBewerken

In   zijn de volgende metrieken equivalent:

  • De gewone metriek
  • De metriek gegeven door  
  • De metriek gegeven door  

Begrensde metriekBewerken

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een   bestaat zodat

 

VoorbeeldBewerken

De metriek   gegeven door:

  is begrensd.

Het is duidelijk dat

 

Opmerking bij het eerste axiomaBewerken

Het axioma   (niet-negativiteit) is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere afgeleid kan worden. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen   en   bestaat:  . Door symmetrie is ook   en is   door de scheidingseigenschap (ook bij pseudometrieken). We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is:   ( ). Een negatieve afstand is dus niet mogelijk.

Afstand van een punt tot een verzamelingBewerken

De afstand van een punt tot een niet-lege verzameling is de grootste ondergrens van de afstanden van het punt tot de punten van de verzameling.

Zie ookBewerken