Voortbrengen (algebra en lineaire algebra)

algebra en lineaire algebra
(Doorverwezen vanaf Voortbrengen (lineaire algebra))

Voortbrengen is een term die in verschillende deelgebieden van de wiskunde gebruikt wordt. In het algemeen brengt een verzameling elementen een bepaalde structuur voort als die structuur de kleinste is die de gegeven verzameling omvat.

AlgebraBewerken

In de algebra zegt men dat een groep   voortgebracht wordt door een deelverzameling   van een groep  , als   de kleinste ondergroep van   is die de verzameling   omvat. Er bestaat altijd zo'n kleinste ondergroep, het is namelijk de doorsnede van alle ondergroepen van   die   omvatten. Men noemt   een genererende verzameling van  

Lineaire algebraBewerken

  Zie Lineair omhulsel voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Binnen de lineaire algebra zegt men dat een stelsel vectoren   uit een vectorruimte   de deelruimte   van   voortbrengt, als   bestaat uit alle lineaire combinaties van de vectoren in  

Men noemt   de lineaire deelruimte die wordt voortgebracht door  , of erdoor wordt opgespannen, en noteert:

 

In het geval dat   eindig is, zegt men ook:

 

De door   voortgebrachte ruimte   wordt het lineair omhulsel van   genoemd.

Als het genoemde stelsel vectoren   lineair onafhankelijk is, dan is   een basis van de voortgebrachte deelruimte  

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte   wordt voortgebracht door het stelsel  , dan bevat   een basis van  

De door   voortgebrachte ruimte   verandert niet

  • als men aan   een vector uit   toevoegt;
  • als men een vector uit   die een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit  , weglaat;
  • als men in   een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair);
  • als men bij een vector uit  , een andere vector uit   optelt.