Lineaire afbeelding

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en ze spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten of modulen.

In de wiskunde is een lineaire afbeelding een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart, wat inhoudt dat zowel de optelling als de scalaire vermenigvuldiging behouden blijven. Het beeld van de som van vectoren is gelijk aan de som van de beelden, en het beeld van een (scalaire) veelvoud van een vector is gelijk aan hetzelfde veelvoud van het beeld. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten en modulen.

Definitie

bewerken

Een afbeelding  , waarbij   en   vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld)   zijn, heet lineair als voor elk paar   en elk element  [1]:

 

en

 .

Omdat niet uitdrukkelijk gebruikgemaakt wordt van het feit dat scalairen verschillend van nul een omgekeerde hebben, kan de eis dat   een lichaam is verzwakt worden, en kan de definitie worden gebruikt voor lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. Veel van de resultaten voor vectorruimten hebben een analoog voor modulen, maar omdat niet ieder moduul een basis heeft zijn er een aantal resultaten die niet kunnen worden overgezet (zoals bijvoorbeeld de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingen

bewerken

De verzameling   van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte   naar een vaste vectorruimte  , beide over het lichaam  , is met een geschikte optelling en vermenigvuldiging met een scalair zelf ook een vectorruimte over  .[1]

Voor de lineaire afbeeldingen   en   van   naar   wordt de som   gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element   de som van de beelden onder   en   toevoegt:

 

en wordt voor een element   het veelvoud   gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element   het  -veelvoud van het beeld onder   toevoegt:

 

De verzameling   is een deelruimte van de vectorruimte   over   van de functies van   naar  .

Ook de samenstelling van lineaire afbeeldingen is opnieuw een lineaire afbeelding: voor   en  , waarin   en   vectorruimten over het lichaam   zijn, is

 

terug een lineaire afbeelding.

Nulruimte en beeldruimte

bewerken

De nulruimte   of kern van een lineaire afbeelding   is de verzameling van alle vectoren die door   op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van  , het bereik, heet ook de beeldruimte   van  . Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte. Vaak wordt de notatie   en   gebruikt voor de kern en beeldruimte, van het engelse kernel en image.

Matrixvoorstelling

bewerken

De lineaire afbeelding   van de  -dimensionale vectorruimte   naar de  -dimensionale vectorruimte   beeldt de basisvectoren   van   af op de vectoren

 ,

die, zoals alle vectoren in  , kunnen worden geschreven als lineaire combinatie van de basisvectoren   van  :

 

De bijbehorende  -matrix   heeft als elementen de coördinaten  :

 

Voor een vector  , met

 

geldt:

 ,

waarin

 .

De matrix   wordt de matrixvoorstelling van de lineaire afbeelding   genoemd. Het is een belangrijke eigenschap van lineaire afbeeldingen tussen eindigdimensionale ruimten dat iedere lineaire afbeelding een matrixvoorstelling heeft, en de afbeelding en matrix worden vaak als hetzelfde object beschouwd.

Voorbeelden

bewerken

Voorbeeld 1

bewerken

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2

bewerken

De afbeelding   die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn   respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3

bewerken

De afbeelding  , is lineair. De bijbehorende matrix is:

 

Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector   met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector   met de onderste rij van de matrix.

Voorbeeld 4

bewerken

De afbeelding   is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring  . De kern van deze afbeelding is het  -moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm  . Het beeld is  , de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een  -moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

Eigenschappen

bewerken

Dimensiestelling

bewerken

De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen is een centrale stelling binnen de lineaire algebra en luidt:

Laat   en   eindigdimensionale vectorruimten zijn en   een lineaire afbeelding van   in  . Dan is:

 ,

waarbij   het beeld en   de kern van   is.

Als daarenboven   en   dezelfde dimensie hebben, dan volgt uit deze stelling dat   injectief is dan en slechts dan als   surjectief is. De redenering loopt als volgt:

  • Stel dat   surjectief is, dan is  . Hieruit volgt dat  . Dit impliceert dat   injectief is: stel dat er   bestaan zodat   maar  , dan is  . Dit is tegenstrijdig met het feit dat  , en dus is   injectief.
  • Stel dat   injectief is, dan is volgens de redenering van het vorige punt  . Dit impliceert dat  , en dus is   surjectief.

Omdat injectiviteit de surjectiviteit impliceert en omgekeerd, geldt dat als   injectief of surjectief is, dan is   een bijectie. Omdat   ook lineair is, vormt het een isomorfisme tussen   en  .

Bronnen

bewerken