Hoofdmenu openen
Tekens van de barycentrische coördinaten in verschillende gebieden ten opzichte van de basisdriehoek ABC.

Barycentrische coördinaten vormen een coördinatenstelsel waarmee een punt vastgelegd wordt ten opzichte van de hoekpunten van een simplex. Dit is een generalisatie in meer dimensies van een driehoek.

De naam komt van barycentrum, een ander woord voor massamiddelpunt of zwaartepunt. Zet men in de hoekpunten van de simplex massa's ter grootte van de barycentrische coördinaten van een punt, dan is het punt juist het zwaartepunt van de massa's. Barycentrische coördinaten zijn op een gemeenschappelijke factor na eenduidig. Het zijn dus de verhoudingen van de coördinaten die het punt bepalen. Het is daarom wel gebruikelijk de barycentrische coördinaten te scheiden door deeltekens, door dubbelepunten. Barycentrische coördinaten zijn in 1827 door August Ferdinand Möbius geïntroduceerd.

Is de simplex een gegeven driehoek in een vectorruimte, met de vectoren die wijzen naar de drie hoekpunten , dan kan een punt in het vlak van de driehoek door drie barycentrische coördinaten worden aangegeven. Het punt met barycentrische coördinaten is het eindpunt van de volgende vector:

DefinitieBewerken

Als in een vectorruimte over   de simplex met hoekpunten   gegeven is en voor een punt y zijn er positieve reële getallen   waarvoor geldt:

 

dan heten   barycentrische coördinaten van   ten opzichte van de simplex.

Dit betekent dat   het massamiddelpunt of zwaartepunt is van de massa's   geplaatst in de hoekpunten   van de simplex.

Barycentrische coördinaten zijn homogeen, wat wil zeggen dat voor verschillende waarden van   de coördinaten   alle hetzelfde punt aanwijzen.

Als de betreffende simplex een driehoek is, dan geldt  .

Alternatieve definitie met oppervlaktesBewerken

De barycentrische coördinaten van een punt   ten opzichte van een driehoek worden gegeven door het tripel

 

waarbij bijvoorbeeld   positief is als   en   dezelfde oriëntatie hebben en negatief als de oriëntaties tegengesteld zijn. De tekens   en   in de tekening zijn abusievelijk verwisseld.

Genormaliseerde barycentrische coördinatenBewerken

Vaak wordt gewerkt met genormaliseerde barycentrische coördinaten, dat wil zeggen dat de som van de coördinaten gelijk is aan 1. In dat geval worden de coördinaten wél gescheiden met komma's. De genormaliseerde barycentrische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn bijvoorbeeld  .

Voorbeelden in een driehoekBewerken

Hieronder staan van een aantal bijzondere punten in de driehoek   met zijden   en   de barycentrische coördinaten. Daarin is:

  en  
  •  
  •  
  •  
  • het zwaartepunt:  
  • het middelpunt van de ingeschreven cirkel:  
  • het hoogtepunt:  
  • het middelpunt van de omgeschreven cirkel:  
  • het punt van Nagel:  
  • het punt van Fermat:  
  • het punt van Hofstadter:  
  • het punt van Fuhrmann:  

Verband met cartesische coördinatenBewerken

Als de hoekpunten van een driehoek in een vlak gegeven zijn in cartesische coördinaten als   en  , dan zijn de cartesische coördinaten voor het punt met genormaliseerde barycentrische coördinaten  

 

Voor een punt met willekeurige barycentrische coördinaten   zijn de cartesische coördinaten:

 

Lijnen in het vlakBewerken

Drie punten  ,   en   liggen op één lijn, dan en slechts dan als:

 

Hieruit volgt dat een lijn in barycentrische coördinaten   en   door   is bepaald.

In het bijzonder is de lijn door   en   gegeven door  

Soms worden de coëfficiënten van zo’n lijn weergegeven als barycentrische lijncoördinaten, geschreven met vierkante haken als  . Dit weerspiegelt de dualiteit van lijn en punt in het projectieve vlak. Drie lijnen

 ,   en  

snijden elkaar in één punt dan en slechts dan als de 3x3-determinant met de coëfficiënten de waarde 0 heeft.

De oneindig verre rechteBewerken

Een speciale plaats wordt ingenomen door de lijn  , de oneindig verre rechte. Punten die op deze rechte liggen hebben geen genormaliseerde barycentrische coördinaten.