Coördinatenruimte

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte het -voudige Cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) . De coördinatenruimte bestaat uit de -tupels (rijtjes van elementen) van , en analoog voor gelijk aan oneindig. Een coördinatenruimte is het prototypische voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

DefinitieBewerken

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be)   (zoals de reële getallen   of de complexe getallen  ) en natuurlijk getal   wordt de ruimte   van alle  -tupels van elementen van   de  -dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een  -dimensionale vectorruimte over  .

Een element   van   is een rijtje

 

waarin elke   een element is van  . De   elementen   heten de kentallen van de vector  . De   vectoren  , waarin   de  -de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van  . Een vector is de som van z'n componenten:

 

Optelling en scalaire vermenigvuldiging op   zijn gedefinieerd door

 

en

 

De nulvector is

 

en de additieve inverse van de vector   wordt gegeven door

 

MatrixnotatieBewerken

De elementen van de coördinatenruimte   worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

 

of soms als rijvectoren:

 

De coördinatenruimte   kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle  -kolomvectoren of alle  -rijvectoren, uitgerust met de gewone matrixoperaties van optellen en scalaire vermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van   naar   kunnen dan worden geschreven als  -matrices, die via linkervermenigvuldiging (wanneer de elementen van   kolomvectoren zijn) of rechtervermenigvuldiging (als het rijvectoren zijn) inwerken op de elementen van  .

StandaardbasisBewerken

De coördinatenruimte   heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

 
 
 
 

waarin 1 de multiplicatieve identiteit in   aanduidt.

IsomorfieBewerken

Alle  -dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn met elkaar isomorf.

Zie ookBewerken