Coördinatenruimte

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte $F^{n}$ het $n$-voudige cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) $F$. De coördinatenruimte $F^{n}$ bestaat uit de $n$-tupels, rijtjes van $n$ elementen, van $F$. Ook de rijen van aftelbaar oneindig veel elementen van $F$ vormen een coördinatenruimte. Een coördinatenruimte is het prototypische voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

Definitie

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) $F$ (zoals de reële getallen $\mathbb {R}$ of de complexe getallen $\mathbb {C}$) en natuurlijk getal $n$ wordt de ruimte $F^{n}$ van alle $n$-tupels van elementen van $F$ de $n$-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een $n$-dimensionale vectorruimte over $F$.

Een element $x$ van $F$ is een rijtje

$x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$,

waarin elke $x_{i}$ een element is van $F$. De $n$ elementen $x_{i}$ heten de kentallen van de vector $x$. De $n$ vectoren $x_{i}e_{i}=(0,\ldots ,0,x_{i},0,\ldots ,0)$, waarin $e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ de $i$-de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van $x$. Een vector is de som van z'n componenten:

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$

Optelling en scalaire vermenigvuldiging op $F^{n}$ zijn gedefinieerd door

$x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

en

$\alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})$

De nulvector is

$0=(0,0,\cdots ,0)$

en de additieve inverse van de vector $x$ wordt gegeven door

$-x=(-x_{1},-x_{2},\cdots ,-x_{n}).$

Matrixnotatie

De elementen van de coördinatenruimte $F^{n}$ worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

$x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

of soms als rijvectoren:

$x={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}.$

De coördinatenruimte $F^{n}$ kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle $n\times 1$-kolomvectoren of alle $1\times n$-rijvectoren, uitgerust met de gewone matrixoperaties van optellen en scalaire vermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van $F^{n}$ naar $F^{m}$ kunnen dan worden geschreven als $m\times n$-matrices, die via linkervermenigvuldiging (wanneer de elementen van $F^{n}$ kolomvectoren zijn) of rechtervermenigvuldiging (als het rijvectoren zijn) inwerken op de elementen van $F^{n}$.

Standaardbasis

De coördinatenruimte $F^{n}$ heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

$e_{1}=(1,0,\ldots ,0)$

$e_{2}=(0,1,\ldots ,0)$

$\vdots$

$e_{n}=(0,0,\ldots ,1)$

waarin 1 de multiplicatieve identiteit in $F$ aanduidt.

Isomorfie

Alle $n$-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn met elkaar isomorf.

Zie ook

• Reële coördinatenruimte $\mathbb {R} ^{n}$
• Coördinatisering