Quaternion

vierdimensionaal getal
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Zie Katern#Quaternion voor het begrip Quaternion in de boekbinderij

De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en daarmee een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton geïntroduceerd voor toepassing in de mechanica. Naar hem wordt de verzameling van de quaternionen wel aangeduid met het symbool .

Quaternionen worden in computerprogramma's voor relatieve oriëntatiebepaling in drie dimensies gebruikt. Zij zijn geschikt voor de beschrijving van een rotatie in de driedimensionale ruimte die twee congruente voorwerpen in elkaar doet overgaan. Met een quaternion gaat dit veel beter dan met eulerhoeken (rollen, stampen, gieren), omdat een kleine verandering van oriëntatie altijd een kleine verandering in de vier reële coördinaten geeft, waar hoeken bijvoorbeeld soms plotseling van 359° naar 1° verspringen met alle problemen in software van dien.

Technische toepassingen vormen bijvoorbeeld de beschrijving in de ruimtevaart voor de koppeling van twee ruimtevaartuigen. In de robotica beschrijven quaternionen bij het lassen in de automobielindustrie de bewegingen van de robotarm.

DefinitieBewerken

 
Stenen gedenkplaat in Dublin, met daarin door Hamilton de vermenigvuldigingsregels voor quaternionen gekrast.

Een quaternion is een uitdrukking van de vorm

 ,

waarin   en   reële getallen zijn en waarin naast de eenheden 1 en en de imaginaire eenheid   die al bekend zijn uit de complexe getallen, en waarvoor geldt:

 ,

nog twee eenheden   en   voorkomen die voldoen aan de relaties:

 
 
 
 
 
 

Het getal   heet het reële of scalaire deel van de quaternion   en de quaternion   het imaginaire deel, of, opgevat als vector  , het vectordeel.

Let op: Anders dan voor complexe getallen, waarvoor  , geldt voor quaternionen:

 

Een quaternion waarvan het reële deel 0 is, heet zuiver imaginair. Voor zuiver imaginaire quaternionen   geldt:

 

Optellen en vermenigvuldigen van quaternionen gaat hetzelfde als bij de reële getallen onder inachtneming van deze relaties.

OptellingBewerken

Voor de optelling van twee quaternionen   en   geldt:

 
 

De optelling is zowel commutatief als associatief.

VermenigvuldigingBewerken

DistributiviteitBewerken

De vermenigvulding is distributief over de optelling. Dat houdt in dat het product van de som van de termen gelijk is aan de som van de producten van de afzonderlijke termen. Het product van twee quaternionen kan dus op de gebruikelijke manier termsgewijs berekend worden.

HamiltonproductBewerken

Wegens de distributiviteit kan met de rekenregels het product, ook hamiltonproduct genoemd, van twee quaternionen   en   berekend worden:

 
 
 
 
 

CommutativiteitBewerken

Aangezien de eenheden onder de vermenigvuldiging wel commutatief zijn met de reële getallen, maar niet onderling, is de vermenigvuldiging niet commutatief. Bijvoorbeeld is:

 

AssociativiteitBewerken

De vermenigvuldiging is associatief, d.w.z. voor alle  , en analoog   en   is:

 

Dat is omdat de termen met het product van   en   in beide hetzelfde zijn. Bijvoorbeeld zijn in   en   respectievelijk de termen

 

en

 

aan elkaar gelijk.

Dat geldt ook voor alle andere dergelijke termen, want

 
 
 
 
 

Verdere definitiesBewerken

NormBewerken

Net als bij complexe getallen kan er een norm of lengte aan een quaternion toegekend worden:

 

GeconjugeerdeBewerken

Van de quaternion   is de geconjugeerde quaternion   of  :

 

Anders geformuleerd:

 

Omdat

 

volgt:

 

en

 

Direct is ook te zien dat voor een quaternion  , die dus ook als complex getal is op te vatten, de geconjugeerde hetzelfde is als de complex geconjugeerde.

Ook gelden de eigenschappen:

 
 
 , voor reële  
 
 

Verder geldt:

 

ReciproqueBewerken

Uit bovenstaande eigenschap van de geconjugeerde quaternion, volgt voor de reciproque:

 ,

dus

 

EenheidsquaternionBewerken

Een quaternion met norm 1 heet eenheidsquaternion.

Zuivere eenheidsquaternionen vormen een bol met straal 1 in deze ruimte.

Naar analogie met de formule van Euler bij complexe getallen:

 

kan iedere eenheidsquaternion   geschreven worden als

 

met de zuivere eenheidsquaternion

 

en

 

Voor zuivere eenheidsquaternionen   geldt uiteraard:

 

Daaruit volgt

 

e-machtBewerken

Ook voor quaternionen bestaat een generalisatie van de e-macht. Deze wordt gedefinieerd via de machtreeks:

 

Omdat voor een zuiver imaginaire eenheidsquaternion   geldt:

 

is voor  

 

Een wilekeurige quaternion   met   en   kan geschreven worden in de vorm:

 

waarin   een zuiver imaginaire eenheidsquaternion is.

Bijgevolg is:

 

Inproduct en kruisproductBewerken

Aangezien quaternionen vectoren in de   zijn, kan ook een inproduct gedefinieerd worden. Ook is een kruisproduct gedefinieerd.

Laat   en   twee quaternionen zijn.

Het inproduct van   en   is de gebruikelijke som van de producten van de kentallen:

 

Het kruisproduct van   en   is het gebruikelijke kruisproduct van hun vectoriële delen   en  :

 

Dit is gelijk aan:

 

Uit deze eigenschap volgt dat   en   verwisselbaar zijn, dus dat  , alleen dan als  . Dat houdt in dat   en   lineair afhankelijk zijn, dus in elkaars verlengde liggen.

Het product van twee quaternionen kan uitgedrukt worden in termen van het inproduct en het kruisproduct:

 

In het bijzonder blijkt daaruit dat voor zuiver imaginaire quaternionen   en   geldt:

 ,

dus met reëel deel minus het inproduct en met vectordeel het kruisproduct.

Quaternionen als uitbreiding van de complexe getallenBewerken

Net als de complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen opgevat worden onder de introductie van de imaginaire eenheid  , kunnen de quaternionen als uitbreiding van de complexe getallen gezien worden onder introductie van de eenheden   en  .

Een quaternion is een uitdrukking van de vorm

 

waarin   en   complexe getallen zijn en   een bijzondere quaternion waarvoor geldt:

 
 

Daaruit volgt noodzakelijk het bestaan van nog een eenheid

 ,

met

 

Verder gelden de eigenschappen:

 
 
 
 

Uit deze regels volgt voor complexe getallen  :

 
 
 

Daarin is   de complex geconjugeerde van  .

Daaruit volgt weer voor de vermenigvuldiging:

 

Een quaternion   wordt dus bepaald door twee complexe getallen, en kan dan ook voorgesteld worden als het paar complexe getallen:

 

met de rekenregels:

 

en

 

De eenheden zijn dan, als paar complexe getallen:

 

Uitgescheven als vector van reële getallen:

 

MatrixvoorstellingBewerken

Quaternionen kunnen ook voorgesteld worden als complexe 2×2-matrix:

 

Optellen en vermenigvuldigen gaat dan als bij matrices. Bijvoorbeeld:

 

Op analoge wijze kan een quaternion   als reële 4×4-matrix voorgesteld worden:

 
 

In deze voorstelling is dus:

 

De geconjugeerde quaternion is in deze voorstelling de getransponeerde matrix. Verder is de determinant:

 ,

zodat

 

Polaire notatieBewerken

Iedere eenheidsquaterion   kan op eenduidige manier geschreven worden als:

 

Daarin is   de poolhoek van  , waarvoor geldt:

 

en

 

een zuivere eenheidsquaternion.

Een willekeurige niet-reële quaternion   kan geschreven worden als:

 

waarin   een eenheidsquaternion is.

Daarmee wordt de polaire notatie voor  :

 

Met behulp van de verderop in dit artikel besproken e-macht kan nog geschreven worden:

 


Getallenlichamen en groepenBewerken

De quaternionen ( )vormen een delingsring (Ned) / lichaam (Be), een vierdimensinale reële vectorruimte over de reële getallen ( ), waarvan de eenheden   en   de eenheidsvectoren zijn, en een tweedimensionale vectorruimte over de complexe getallen ( ). De quaternionen zelf kunnen weer naar de octonionen ( )worden uitgebreid, maar de bewerking van de octonionen is niet meer associatief.

Zij zijn op de volgende manier een deelverzameling van elkaar:  

Deze getalverzamelingen voldoen aan steeds minder eigenschappen.

ordening vermenigvulding
commutatief associatief
reële getallen ja ja ja
complexe getallen nee ja ja
quaternionen nee nee ja
octonionen nee nee nee

De eenheden   en   en hun tegengestelden vormen onder de bewerking vermenigvuldiging een groep: de quaternionengroep.

RotatiesBewerken

Eenheidsquaternionen vormen een groep die isomorf is met de groep van rotaties in drie dimensies. Dat wil zeggen dat zij onderling hetzelfde gedrag vertonen bij vermenigvuldiging. Daarom kunnen zij gebruikt worden voor het beschrijven van rotaties in de ruimte om een as in deze ruimte.

Een rotatie wordt beschreven door een rotatiequaternion

 ,

waarin   de zuivere eenheidsquaternion is in de vectoriële richting van de rotatieas en   de halve draaiinghoek rond de as.

Een punt   wordt beschreven door de zuiver imaginaire quaternion   en zijn beeld onder de rotatie door  , met als vectordeel het geroteerde punt  .

Er zijn andere manieren om rotaties vast te leggen, bijvoorbeeld met de hoeken van Euler, maar die hebben bij de berekening een nadeel: er ontstaat een pool, een singulier punt waar de hoeken niet meer eenduidig bepaald zijn. Dit probleem staat bekend als gimbal lock. Rotaties met behulp van quaternionen hebben dit probleem niet en dat is de voornaamste reden waarom deze wiskunde, die meer dan een eeuw vrijwel ongebruikt in de kast gelegen had, zich sinds de jaren 1990 in hernieuwde belangstelling mag verheugen.

VoorbeeldBewerken

Het punt   wordt om de z-as geroteerd over een hoek van 60°. De z-as wordt bepaald door de eenheidsquaternion:

 

en de rotatie door

 

met

 

en

 

Het beeld   van   is het vectoriële deel van:

 
 
 
 

dus