Hoofdmenu openen

Functie (wiskunde)

wiskundige relatie waarbij een element afhankelijk is van een of meer andere elementen
Grafiek van de functie

In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie is dan een afbeelding van getallen, die voorschrijft wat de functiewaarde is van het argument . De functie met functiewaarde bijvoorbeeld, bepaalt van elk reëel getal als functiewaarde het dubbele van dit getal. Deze opvatting van het begrip functie is niet algemeen.

Deel van een serie artikelen over

Analyse van "Galton-Watson-model" aan de hand van wiskundige vergelijkingen.
Formules van een stochastisch proces
––– Kwantiteit –––

Complex getal · Geheel getal · Natuurlijk getal · Oneindigheid · Reëel getal · Rekenkunde


––– Structuur en ruimte –––

Algebra · Functie · Getaltheorie · Goniometrie · Groepentheorie Meetkunde · Topologie


––– Verandering –––

Analyse · Calculus · Chaostheorie · Differentiaalvergelijking ·
Dynamisch systeem · Vectoren


––– Toegepaste wiskunde –––

Discrete wiskunde · Grafentheorie · Informatietheorie · Kansrekening · Statistiek · Wiskundige fysica


Portaal Portaalicoon Wiskunde

Het wiskundige begrip 'functie' heeft in het Nederlandse taalgebied geen eenduidige betekenis, zij het dat de nuanceverschillen gering en van ondergeschikte betekenis zijn. Enerzijds is er de opvatting dat een functie een relatie is die voor ieder 'origineel' maximaal één 'beeld' heeft; dit wordt door sommigen ook wel een partiële functie genoemd. Anderzijds, ook in andere taalgebieden, is er de opvatting een functie als synoniem te beschouwen van afbeelding, dus een relatie die voor ieder 'origineel' precies één 'beeld' heeft, soms ook wel totale functie genoemd. In dit artikel wordt deze definitie gevolgd.

Behalve elementaire functies op getallen kan een functie ook een afbeelding zijn tussen algebraïsche structuren zoals groepen, of tussen meetkundige objecten, zoals variëteiten. In de abstracte verzameling-theoretische benadering is een functie een relatie tussen het domein en het codomein dat elk element in het domein associeert met precies één element in het codomein. Een voorbeeld van een functie met domein en codomein associeert met , met en met .

OverzichtBewerken

Omdat functies zo veel worden gebruikt, zijn er vele tradities ontstaan rondom het gebruik ervan. Een input van een functie wordt vaak de onafhankelijke variabele of het argument genoemd en wordt vaak weergegeven door de letter   of, als de input voor een bepaalde tijd staat, door de letter  . De bijbehorende output wordt de afhankelijke variabele of functiewaarde genoemd en wordt vaak weergegeven door de letter  . De functie zelf wordt heel algemeen   genoemd, en dus geeft de notatie   aan dat een functie met de naam   aan het argument   de functiewaarde   toekent.

De verzameling van alle toegestane argumenten voor een gegeven functie wordt het domein van de functie genoemd. De verzameling van alle daaruit resulterende functiewaarden is het beeld van dit domein door de functie en wordt het bereik van de functie genoemd. Het bereik is in veel gevallen een deelverzameling van een grotere verzameling, die het codomein van de functie wordt genoemd. Zo zou de functie   bijvoorbeeld als domein de verzameling van alle reële getallen kunnen hebben, als haar beeld de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen, en als haar codomein de verzameling van alle reële getallen. In dat geval kan   beschreven worden als een reëelwaardige functie van een reële veranderlijke. Vooral in de wereld van de informatica verwijst de term "bereik" soms naar het codomein in plaats van naar het beeld. Gezien de veranderlijke betekenis van de begrippen naargelang de context, dient men de begrippen met zorg te gebruiken.

DefinitieBewerken

Een functie   is een relatie tussen twee verzamelingen   en  , met de eigenschap dat aan ieder element   uit   precies één element   uit   is gekoppeld.

Men noteert de functie als  , soms ook als  , en het unieke element   dat door   aan het element   wordt toegevoegd als  . Het element   wordt een origineel genoemd en het element   de functiewaarde van  . De verzameling   heet het domein   (of definitiegebied) van  ; de verzameling   wordt wel het codomein   van   genoemd. Met het bereik   van   wordt de deelverzameling van   aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van  .

Een volgens de verzamelingenleer precieze definitie van een functie is dat deze bestaat uit een geordend drietal verzamelingen, dat kan worden geschreven als   Daarin is   het domein van de functie  ,   het codomein, en   een deelverzameling van het cartesisch product  , dus bestaande uit geordende paren. Van elk van deze geordende paren   is het eerste element   in het domein   van  , het tweede element   in het codomein en is elk element   in het domein het eerste element van precies één geordend paar, genoteerd als  . De verzameling van alle functiewaarden   staat bekend als het bereik van  . Overigens wordt een zo gedefinieerde functie ook wel geschreven als  , met een andere volgorde van het drietal.

In de meeste praktische situaties kan men het uit de context begrijpen wat het domein en het codomein zijn, en wordt alleen de relatie tussen origineel en functiewaarde gegeven. Zo wordt

 

meestal geschreven als

 

of simpelweg als

 

De grafiek van een functie is haar verzameling van geordende paren.

Een dergelijke verzameling (grafiek) kan worden uitgezet op een tweetal coördinaatassen; de horizontale as bevat meestal de elementen van het domein   en de verticale as bevat de elementen van het bereik  .

Twee voorbeelden van functies zijn

  • Het benzineverbruik van een auto hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Voor een bepaald type auto is onder standaardcondities van weg en weersomstandigheden, het benzineverbruik een (partiële) functie van de snelheid. Omdat niet gespecificeerd is welke waarden van de snelheid beschouwd worden, weten we niet of het benzineverbruik voor al deze waarden bekend is. Mogelijk kan de auto sommige snelheden niet eens bereiken.
  • De functie  , gegeven door het voorschrift   verbindt ieder reëel getal ongelijk aan 0 met de absolute waarde van zijn inverse. Het domein wordt hier gevormd door alle reële getallen behalve 0, het codomein door alle reële getallen en het bereik is gelijk aan alle reële getallen die groter dan 0 zijn.

Definitie als partiële functieBewerken

  Zie partiële functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een (partiële) functie   is een relatie tussen twee verzamelingen   en   met de eigenschap dat aan ieder element   hoogstens één element uit   wordt gekoppeld.

Opmerking: een dergelijke relatie wordt ook wel een 'functionele relatie' genoemd.

Het is voor een partiële functie dus mogelijk dat elementen van de verzameling   geen functiewaarde hebben. Dat is in het algemeen slechts van geringe, formele betekenis, aangezien men in praktische gevallen voornamelijk geïnteresseerd is in de argumenten waarvoor wel een functiewaarde bestaat. Men moet echter goed opletten niet een functiewaarde te willen berekenen voor een argument waarvoor de functie niet gedefinieerd is.

GrafiekBewerken

De grafiek van een functie   is de verzameling van alle geordende paren  , voor   in het domein  . Als zowel   als '  een deelverzameling is van de reële getallen  , valt deze definitie samen met de vertrouwde voorstelling van "grafiek" van de functie.

AfbeeldingBewerken

Een functie heet ook afbeelding. Sommige auteurs gebruiken de termen "functie" en "afbeelding" om naar verschillende soorten functies te verwijzen. Andere specifieke types functies zijn de functionalen en de operatoren.

GeschiedenisBewerken

Functiebegrip vóór LeibnizBewerken

In de geschiedenis zijn sommige wiskundigen dicht in de buurt gekomen van een moderne formulering van het concept van een functie. Onder hen is Oresme (1323-1382). . . In zijn theorie lijken een aantal algemene ideeën over onafhankelijke en afhankelijke variabele grootheden aanwezig te zijn.[1][2]

Ponte merkt verder op dat "De opkomst van een notie van de functie als een geïndividualiseerde wiskundige entiteit getraceerd kan worden tot het begin van de infinitesimaalrekening".[1]

LeibnizBewerken

Het woord ‘functio’ werd voor het eerst gebruikt door Leibniz in 1673 in zijn manuscript “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” en is etymologisch afgeleid van het Latijnse werkwoord fungor (ik voer een taak uit). Leibniz beschouwde een functie als een grootheid verbonden met een kromme, die ten opzichte van de kromme een bepaalde taak uitvoert, ofwel, een ‘wiskundige taak’.

BernoulliBewerken

In 1718 definieerde de van oorsprong Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli een functie als

 

"[On appelle fonction] d'une grandeur variable une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes."

 

en maakte hij gebruik van een notatie voor een functie waarbij hij   schreef voor een grootheid die van   afhankelijk is, en daarnaast nog een getal boven de  , indien er sprake was van meer variabelen die van   afhankelijk zijn.

EulerBewerken

De definitie van Euler uit 1748 stelde:

 

Eine Function einer veränderlichen Zahlgrösse ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Zahlgrösse und aus eigentlichen Zahlen oder aus constanten Zahlgrössen zusammengestellt ist.

 

Deze definitie verschilt dus niet wezenlijk van die van Bernoulli uit 1718. Echter, de definitie die Euler in 1755 aan het begrip functie gaf, verschilde vrijwel compleet. Hij schreef:

 

If some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the former undergo change, then the former quantities are called functions of the latter. This denomination is of broadest nature and comprises every method by means of which one quantity could be determined by others. If therefore, x denotes a variable quantity, then all quantities which depend upon x in any way or are determined by it are called functions of it.

 

DirichletBewerken

De moderne, formele definitie van een functie, die dateert uit de 19e eeuw, is van de hand van Johann Dirichlet.

Soorten functiesBewerken

Net als bij afbeeldingen zijn er injectieve, surjectieve en bijectieve functies en bestaat er voor een bijectieve functie een inverse.

Identieke functieBewerken

  Zie Identieke afbeelding voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De unieke functie over een verzameling  , die elk element op zichzelf afbeeldt, wordt wel de identieke functie voor   genoemd. De identieke functie wordt meestal aangeduid met  . Voor alle   geldt dus   Elke verzameling heeft haar eigen identieke functie, zodat het onderschrift niet kan worden weggelaten, tenzij de verzameling waar het om gaat uit de context kan worden afgeleid. Onder functiecompositie is een identieke functie "neutraal": indien   een functie van   naar   is, geldt

 

Inverse functieBewerken

  Zie Inverse functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als   een functie van   naar   is, dan is een inverse functie van  , aangeduid met  , een functie in de tegengestelde richting, dus van   naar  , met de eigenschap dat bij functiecompositie met   elk element weer op zichzelf wordt afgebeeld. Niet elke functie heeft een inverse; functies die dat wel hebben worden inverteerbaar genoemd. De inverse functie bestaat dan en slechts dan als   een bijectie is. Als   een inverse heeft, geldt dus:

  en  
Voorbeeld

Zij   de functie die een temperatuur in graden Celsius   omrekent in het aantal graden Fahrenheit  :

 

De inverse functie die het aantal graden Fahrenheit weer omzet naar graden Celsius is dan

 

Zie ookBewerken

VoetnotenBewerken

  1. a b De geschiedenis van het functieconcept in de wiskunde J.P. Ponte, 1992
  2. Een andere korte maar nuttige geschiedenis is te vinden in Eves (1990), blz. 234-235