Lijn (meetkunde)

rechte aaneenschakeling van punten

Een lijn of rechte is een eendimensionale structuur bestaande uit een continue aaneenschakeling van punten. Een lijnstuk is de kortste verbinding tussen twee punten. In Vlaanderen wordt rechte meer gebruikt dan lijn.

Afhankelijk van de context worden in de wiskunde specifiekere definities gebruikt. Een nauwkeurige definitie van een lijn en van een punt geven is echter moeilijk, daarom worden in de meetkunde lijnen en punten als grondbegrippen beschouwd. In de wiskunde strekt een lijn zich tot in het oneindige uit en is per definitie recht. Een niet-rechte lijn is dan een kromme.

Er zijn drie soorten rechten te onderscheiden:

  • een rechte die aan beide kanten onbegrensd doorloopt;
  • een halve lijn, ook wel halfrechte of straal, aan één kant begrensd, aan de andere kant oneindig doorlopend;
  • een lijnstuk, begrensd door twee punten, met een lengte.

In twee dimensies is de definitie van een rechten- of lijnenwaaier van twee snijdende rechten de verzameling van alle rechten die door het snijpunt van die twee rechten gaan. In drie dimensies is het analoge begrip vlakkenwaaier de verzameling van alle vlakken door de snijlijn van twee snijdende vlakken.

RepresentatieBewerken

 
Drie lijnen in het xy-vlak

Er zijn verscheidene manieren om een rechte lijn vast te leggen:

  • door twee punten   en   van de lijn te geven, ligt de lijn vast;
  • een andere veelgebruikte methode is een punt   op de lijn en een richtingsvector   te geven;
  • door in een cartesisch assenstelsel een vergelijking van de lijn te geven;
  • met poolcoördinaten.

In parametervormBewerken

Als in een xy-assenstelsel de punten   en   gegeven zijn door:

 ,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

 

Dit kan ook herschreven worden als:

 ,

wat overeenkomt met de voorstelling door middel van het punt   en de richtingsvector  .

Voor de beide coördinaten geldt:

 
 

Met een richtingsvectorBewerken

Als in een xy-assenstelsel het punt   en de richtingsvector   gegeven zijn door:

 ,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

 ,

dus door

 
 

De vergelijking van een lijnBewerken

Door eliminatie van de parameter   ontstaat de algemene vergelijking voor een lijn in het xy-assenstelsel:

 

Deze kan voor   worden geschreven als:

 

Voor   is de lijn evenwijdig aan de y-as; de vergelijking is:

 

Daarin is   de richtingscoëfficiënt en   het intercept, de y-waarde van het snijpunt van de lijn met de y-as.

Met de normaalvergelijking van HesseBewerken

De normaalvergelijking van Hesse beschrijft een lijn door middel van een eenheidsvector   en een reëel getal  . De vector   is een normaalvector van de lijn en   is de afstand van de lijn tot de oorsprong. De vergelijking zegt dat het inproduct van   en een punt   van de lijn gelijk is aan  :

 

PoolcoördinatenBewerken

In een plat vlak is de vergelijking in poolcoördinaten   van een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat  , waarbij   de afstand van de lijn tot de oorsprong is en  de richting loodrecht op de lijn.

In drie dimensiesBewerken

Op dezelfde manier geldt in drie dimensies voor de lijn door het punt   met richtingsvector  , gegeven door:

 ,

de geparametriseerde vorm:

 

De coördinaatfuncties zijn dus:

 
 
 

Ook hieruit kan weer door eliminatie van de parameter   een voorstelling van de lijn in de vorm van vergelijkingen gevonden worden. Deze voorstelling kunnen we ook bedenken door de lijn als snijlijn van twee vlakken op te vatten, dus voldoend aan elk van de beide vergelijkingen voor de vlakken:

 
 

Externe linkBewerken