Algebraïsche structuur

In de abstracte algebra is een algebraïsche structuur een verzameling waarop een of meer bewerkingen gedefinieerd zijn die aan bepaalde wetmatigheden, aan bepaalde axioma's voldoen. Die bewerkingen kunnen bestaan uit relaties op de verzameling zelf, maar ook uit relaties tussen de verzameling en een andere verzameling. Als er slechts relaties en geen operaties zijn, spreekt men van een relationele structuur.

Wanneer er geen verwarring mogelijk is, identificeert men gewoonlijk de verzameling zelf met de algebraïsche structuur. Zo wordt een groep $(G,*)$, bestaande uit de verzameling G en de bewerking *, gewoonlijk eenvoudig aangeduid als de groep G.

Voorbeelden

Afhankelijk van de operaties, de relaties en de axioma's krijgen de algebraïsche structuren hun naam. De volgende lijst geeft voorbeelden van algebraïsche structuren.

Groep-achtige structuren

• Magma: verzameling met één enkele binaire operatie
• Quasigroep: niet-lege magma, waarbij delen altijd mogelijk is
• Lus: quasigroep met neutraal element
• Halfgroep: associatief magma
• Monoïde: halfgroep met een neutraal element
• Groep: monoïde met inverse elementen
• Abelse groep: commutatieve groep

Een groep is dus een verzameling van elementen met 1 enkele binaire operatie, waarbij op de elementen het principe van associativiteit van toepassing is, de elementen een inverse kennen en de verzameling tevens een neutraal element bevat.

Ring-achtige structuren

• Halfring of semiring
• Ring
• Lichaam (Ned) / Veld (Be)
• Delingsring (Ned) / Lichaam (Be)
• Integriteitsgebied

Overig

• Moduul
• Vectorruimte: module over een lichaam
• Algebra
• Tralie