Matrixvermenigvuldiging

In de lineaire algebra is matrixvermenigvuldiging een bewerking tussen twee matrices die als resultaat een nieuwe matrix, aangeduid als het product van die twee matrices, oplevert. Vatten we de beide matrices op als lineaire afbeeldingen, dan is de matrixvermenigvuldiging de samengestelde afbeelding van de beide lineaire afbeeldingen die bij de twee aparte matrices horen.

Een -matrix kan worden opgevat als lineaire afbeelding van de ruimte van kolomvectoren met elementen naar de ruimte van kolomvectoren met elementen of daarmee in overeenstemming als een lineaire afbeelding van naar .

Definitie

bewerken

Matrixvermenigvuldiging van een matrix   met een matrix   is alleen mogelijk als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Stel daarom dat   een  -matrix is en   een  -matrix. Het matrixproduct   is dan een  -matrix gegeven door:

 

voor elk paar   en  . Hier staat   voor het element op positie   in het matrixproduct  .

  mag hierin een rijvector en   een kolomvector zijn.

De volgende figuur maakt duidelijk hoe men het element   van   bepaalt, als   een 4x2-matrix is en   een 2×3-matrix. Ieder paar op de weg van de twee pijlen wordt vermenigvuldigd en de producten worden bij elkaar opgeteld. De positie van het resulterende getal in   correspondeert met de rij en kolom die werd beschouwd.

 
 

Voorbeelden

bewerken
  •  
  •  

Eigenschappen

bewerken

De matrixvermenigvuldiging voldoet aan de volgende eigenschappen en is:

  • associatief:  
  • linksdistributief:  
  • rechtsdistributief:  
  • voor ieder getal   is  
  • met   de eenheidsmatrix is  
  • met   de notatie voor de getransponeerde matrix  

Matrixvermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, dus zijn   en   in het algemeen niet aan elkaar gelijk.

Als   heten de matrices anticommuterend.

Het kan dat de formule voor matrixvermenigvuldiging van een matrix   met een matrix   toegepast als de elementen van de matrices niet allemaal elementen van een lichaam/veld zijn. Dat kan als bijvoorbeeld   een matrix is met elementen uit een lichaam/veld zijn en   alleen een vector is, maar wel over hetzelfde lichaam/veld. Hierbij wordt dus een matrix vermenivuldigd met een kolomvector met elementen uit hetzelfde lichaam/veld.

Een matrix   vermenigvuldigen met een scalair   is strikt genomen geen matrixvermenigvuldiging, maar wordt gedefinieerd als de bewerking tussen   en  , waarin alle elementen van   met   worden vermenigvuldigd.  

Vierkante matrices

bewerken

Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen in een matrix hetzelfde is, is het een vierkante matrix. Als we ons beperken tot vierkante matrices van dezelfde afmetingen met elementen in een algebraïsch getallenlichaam   dan vormen deze matrices een associatieve algebra.

Niet elke vierkante matrix heeft een invers element voor de vermenigvuldiging. Een matrix is inverteerbaar of omkeerbaar dan en slechts dan als de determinant van die matrix ongelijk is aan nul. De omkeerbare matrices van gelijke afmeting vormen een groep voor de matrixvermenigvuldiging: de algemene lineaire groep.

Matrices van gelijke afmetingen

bewerken

Voor twee matrices   en   met dezelfde afmetingen, maar die geen vierkante matrices zijn, is de matrixvermenigvuldiging niet gedefinieerd. Voor deze matrices zijn wel gedefinieerd