Hoofdmenu openen

In de lineaire algebra is matrixvermenigvuldiging een bewerking tussen twee matrices die als resultaat een nieuwe matrix, aangeduid als het (matrix)product van die twee, oplevert. Vatten we de beide matrices op als lineaire afbeeldingen, dan is het matrixproduct de lineaire afbeelding die hoort bij de samenstelling van de beide lineaire afbeeldingen.

DefinitieBewerken

Matrixvermenigvuldiging van een matrix   met een matrix   is alleen mogelijk als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Stel daarom dat   een  -matrix is en   een  -matrix. Het matrixproduct   is dan een  -matrix gegeven door:

 

voor elk paar   en   Hier staat   voor het element op positie   in het matrixproduct  

De volgende figuur maakt duidelijk hoe men het element   van   bepaalt, als   een 4x2-matrix is en   een 2×3-matrix. Elk paar op de weg van de pijl wordt vermenigvuldigd en de producten worden bij elkaar opgeteld. De positie van het resulterende getal in   correspondeert met de rij en kolom die werd beschouwd.

 
 

Een uitgewerkt voorbeeld van matrixvermenigvuldiging is het volgende:

 

Lineaire afbeeldingBewerken

Een matrix kan worden opgevat als lineaire afbeelding. Het matrixproduct van twee matrices is dan de samenstelling van beide afbeeldingen.

Zo beeldt in de onderstaande berekening de genoemde matrix de vector   af op:

 

De matrix in onderstaande berekening beeldt de vector   af op:

 .

Aan het beeld van   onder de eerste matrix voegt de tweede dus toe:

 

Dit is juist het beeld van de vector   onder het product van de twee matrices:

 

BasiseigenschappenBewerken

Matrixvermenigvuldiging heeft de volgende eigenschappen:

  •   (associativiteit)
  •   (distributiviteit links)
  •   (distributiviteit rechts)
  •   voor elk getal  
  •  , waarin   de eenheidsmatrix voorstelt.
  •  , waarin   staat voor de getransponeerde matrix.

Matrixvermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, d.w.z. in het algemeen zijn   en   niet aan elkaar gelijk.

Als  , heten de matrices anticommuterend.

Structuureigenschappen van vierkante matricesBewerken

Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen in een matrix hetzelfde is, heet die matrix vierkant. Als we ons beperken tot vierkante matrices van gelijke afmeting met elementen in een algebraïsch getallenlichaam (Nederlands) of getallenveld (Belgisch)   dan vormen deze een associatieve algebra.

Niet elke vierkante matrix heeft een invers element voor de vermenigvuldiging. Een matrix is inverteerbaar of omkeerbaar dan en slechts dan als de determinant van die matrix ongelijk is aan nul. De omkeerbare matrices van gelijke afmeting vormen een groep voor de matrixvermenigvuldiging: de lineaire groep.

Formele matrixvermenigvuldigingBewerken

Soms wordt de formule voor matrixvermenigvuldiging van een matrix   met een matrix   toegepast als de elementen van de matrices niet allemaal elementen van een lichaam/veld zijn. Dat kan als de betrokken vermenigvuldigingen en optellingen gedefinieerd zijn, dus bijvoorbeeld als de elementen van   gewoon de elementen van een lichaam/veld zijn, maar de   vectoren zijn uit een vectorruimte   over hetzelfde lichaam/veld. Hierbij wordt dus een gewone matrix vermenivuldigd met een kolomvector waarvan ieder element een vector uit   is. Het resultaat is ook weer een kolomvector waarvan ieder element een vector uit   is. Zie bijvoorbeeld Basistransformatie.

Er geldt met   en   gewone matrices nog steeds

  •  ,

dus als A inverteerbaar is ook

  •  

Verder:

  •  

waarbij een vector maal een scalar wordt gedefinieerd als de scalar maal de vector.

Zie ookBewerken