Algebra (structuur)

structuur
algebraïsche
structuren

magma
halfgroep
monoïde
groep
ring / ideaal
lichaam/veld

moduul
vectorruimte
algebra

categorie
tralie
boolealgebra

Een algebra is een uitbreiding van het begrip vectorruimte uit de lineaire algebra. In een algebra is naast de optelling en de scalaire vermenigvuldiging, ook de vermenigvuldiging van de elementen (vectoren) onderling mogelijk.

DefinitieBewerken

Een vectorruimte   over een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch)   heet een algebra als op   een vermenigvuldiging   gedefinieerd is die een bilineaire operator is, d.w.z. dat voor alle   geldt:

 
 
  voor alle  .

Equivalent geldt dat   een algebra is, als   met de vermenigvuldiging   een niet-noodzakelijk associatieve ring is waarvoor bovendien de scalaire vermenigvudiging en   compatibel zijn, wat inhoudt dat aan de laatste van de drie bovengenoemde eisen voldaan is.

Een algebra over het lichaam  , wordt ook wel een  -algebra genoemd.

In sommige speciale gevallen krijgt de bilineaire operator een andere naam dan vermenigvuldiging.

VoorbeeldenBewerken

De  -matrices vormen een algebra met de vermenigvuldiging van matrices.

Indien de matrixelementen uit het lichaam   komen, vormen deze matrices een  -algebra.

De reële vectorruimte   met het kruisproduct is een algebra:

 

Ook de verzameling polynomen in één variabele is een algebra voor de gewone optelling en vermenigvuldiging van polynomen. Hetzelfde geldt ook voor polynomen in meer, in   variabelen. Als de coëfficiënten element van het lichaam   zijn, vormen   respectievelijk   een  -algebra.   is de verzameling polynomen in de variabele   met coëfficiënten in het lichaam  .

Associatieve algebraBewerken

In de bovenstaande definitie wordt niet geëist dat de vermenigvuldiging   associatief of commutatief is. Een associatieve algebra voldoet aan de bijkomende voorwaarde dat de vermenigvuldiging associatief is, d.w.z. dat voor alle   geldt:

 

Het algemene geval wordt daarom ook niet-associatieve algebra genoemd, hoewel "niet noodzakelijk associatief" nauwkeuriger zou zijn.

VoorbeeldenBewerken

Matrixvermenigvuldiging is associatief.

Het vectorproduct in   is niet associatief. Noteer   voor de canonieke orthonormale basis, dan geldt

 
 

Vermenigvuldiging van veeltermen is associatief en commutatief.

De tensoralgebra   van een willekeurige vectorruimte   is een associatieve algebra. Hij wordt ook de vrije algebra over   genoemd.

RingenBewerken

  Zie Algebra (ringtheorie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Sommige bronnen verzwakken de eis "vectorruimte over een lichaam" tot "moduul over een commutatieve ring met eenheid". De definitie wordt hierdoor niet ingewikkelder, maar het niet altijd bestaan van een basis compliceert de studie enigszins.

Bijzondere soorten algebra'sBewerken

Diverse specialistische gebieden van de wiskunde onderscheiden speciale soorten (meestal associatieve) algebra's: