Ideaal (ringtheorie)

wiskunde
Algebraïsche structuur

Groep · Halfgroep · Ideaal · Lichaam/veld · Magma · Monoïde · Ring

Algebra · Moduul · Vectorruimte

Boolealgebra · Categorie · Tralie

Een ideaal is in de abstracte algebra, specifiek in de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, een deelverzameling van een ring, die gesloten is ten aanzien van lineaire combinaties met coëfficiënten uit de ring. Dat houdt in dat een ideaal ten aanzien van de optelling een ondergroep is en dat de vermenigvuldiging, zowel links als rechts, van een element uit het ideaal met een element van de ring een resultaat geeft dat binnen het ideaal ligt. De term 'ideaal' verwijst naar het begrip ideaal getal, waarvan idealen een generalisatie vormen in verband met deelbaarheidseigenschappen. De specifieke studie van idealen in commutatieve ringen met eenheidselement heette aanvankelijk ideaaltheorie, maar tegenwoordig is commutatieve algebra gebruikelijker.

DefinitieBewerken

Een deelverzameling   van een ring   heet een tweezijdig ideaal, als   een ondergroep vormt voor de optelling die stabiel is onder linkse en rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Dat betekent:

  •   is een ondergroep van  
  • voor alle   en   zijn   en  

De eis dat   een ondergroep is van  , kan ook geformuleerd worden als

  •  
  • voor alle   is  

Bij een commutatieve ring speelt het onderscheid tussen linkse en rechtse vermenigvuldiging geen rol. In andere gevallen wordt nog onderscheid gemaakt in 'linksidealen' en 'rechtsidealen', dat wil zeggen ondergroepen die stabiel zijn onder linkse resp. rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring.

GeschiedenisBewerken

Het was Richard Dedekind, die in 1876 in de derde editie van zijn boek Vorlesungen über Zahlentheorie het begrip ideaal introduceerde. Idealen dienden als generalisatie van het door Ernst Kummer ontwikkelde begrip ideaal getal. Later werd het begrip uitgebreid door David Hilbert en Emmy Noether.

Voorbeelden en eigenschappenBewerken

  • Beschouw de commutatieve ring van de gehele getallen met de gewone optelling en vermenigvuldiging. Voor ieder natuurlijke getal   is de verzameling van de gehele  -vouden een ideaal, want een  -voud maal een willekeurig getal is nog steeds een  -voud. Deze verzamelingen zijn meteen alle idealen van deze ring.
  • In de ring   van de reële veeltermen vormen de veeltermen die nul zijn in een gegeven verzameling  , een ideaal  . Het is eenvoudig in te zien dat   een ondergroep is, want als voor alle  
  en  , dan is ook  .
Verder is de vermenigvuldiging commutatief en is   voor   voor alle  , dus is het product  .
  • De kern van een homomorfisme van ringen is steeds een ideaal.
  • In de ring   die bestaat uit functies   van een verzameling   in een ring  , met de gewone puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging, vormen de elementen die een deelverzameling   volledig afbeelden binnen een ideaal   van  , een ideaal in  . Voor alle   geldt dat als  , dan ook voor de functiecompositie  .
  • Een lichaam of veld heeft geen andere idealen dan zichzelf en {0}.
  • Algemeen geldt dat in een ring met eenheidselement een ideaal dat verschillend is van de ring zelf, geen omkeerbaar element kan bevatten.

FactorringBewerken

De basis voor het begrip ideaal ligt in de constructie van de factorring. Men zou voor een gegeven ring   en deelring   de factorring op dezelfde manier als de factorgroep uit de groepentheorie willen definiëren. Daartoe beschouwt men eerst en vooral de quotiëntverzameling van   bestaande uit de equivalentieklassen van de equivalentierelatie

  als  

De elementen van deze quotiëntverzameling zijn de nevenklassen van   in  :

 

De bewerking optellen   gaat rechtstreeks over op nevenklassen, omdat de som van ringelementen uit   en   automatisch tot   behoort. De nevenklassen vormen de factorgroep  . Dat is voor de bewerking vermenigvuldigen   niet altijd het geval, omdat het product van ring-elementen uit   en   niet noodzakelijk tot   behoort. Dit is echter wel gegarandeerd als   niet zomaar een deelring van   is, maar ook een ideaal van  . De nevenklassen   vormen dan een deelring  , die factorring genoemd wordt.

VoorbeeldenBewerken

De idealen van   zijn van de vorm  , alle gehele veelvouden van  , voor een willekeurig natuurlijk getal  . Voor   levert dit de eindige factorring   van de restklassen modulo   op.

De kern van een homomorfisme tussen de ringen   en   is een ideaal in  . Volgens de isomorfiestelling is de factorring isomorf met het beeld van het homomorfisme:

 

TegenvoorbeeldBewerken

De gehele getallen   vormen een deelring van de ring van de rationale getallen  . De verzameling nevenklassen   vormt weliswaar een abelse groep voor de factorbewerking  , maar de vermenigvuldiging gaat niet zonder meer over op nevenklassen. Zo behoren bijvoorbeeld   en   niet tot dezelfde nevenklasse van  , hoewel 2 en 3 dat wel doen.   is dan ook geen ideaal van  .

HoofdideaalBewerken

  Zie Hoofdideaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Hoofdidealen zijn idealen die worden voortgebracht door één element. Als   een commutatieve ring is, dan is een hoofdideaal van   een ideaal van de vorm:

 

De verzameling   heet dan het hoofdideaal voortgebracht door het element  . Soms wordt dit genoteerd als   in plaats van  .

Bewerkingen op idealenBewerken

De doorsnede van twee idealen van een ring, of zelfs van een willekeurig aantal idealen, is opnieuw een ideaal.

Het ideaal voortgebracht door een deelverzameling   van een ring   is de doorsnede van alle idealen van   die   omvatten. Dit ideaal wordt meestal genoteerd als   en is het kleinste ideaal in   dat   omvat. Als   een eindige of aftelbare verzameling is, noteert men het ideaal ook wel door opsomming van de elementen:   of  . Men kan   ook expliciet beschrijven als de verzameling van alle eindige sommen van producten van elementen van   met willekeurige elementen van  . Bij niet-commutatieve ringen zijn linksideaal en rechtsideaal verschillend.

De som van twee idealen   en  , genoteerd  , bestaat uit alle ringelementen van de vorm   waarvan   en  . Deze som is ook een ideaal.

Zelfs in een commutatieve ring vormen de producten van elementen uit   en   niet noodzakelijk een ideaal, maar het ideaal dat ze voortbrengen heet het productideaal en wordt gewoonlijk als   genoteerd.

RadicaalBewerken

Het nulradicaal van een commutatieve ring   is de verzameling van nilpotente elementen van  . Het is een ideaal van  .

Het radicaal van een ideaal   in een ring   bestaat uit alle elementen van   waarvan een macht in   ligt. Een radicaal ideaal is een ideaal dat gelijk is aan zijn eigen radicaal.

Voorbeelden van radicale idealenBewerken

In de gehele getallen vormt de verzameling van de  -vouden een radicaal ideaal dan en slechts dan als   kwadraatvrij is. Zo is bijvoorbeeld   geen radicaal ideaal, omdat zijn radicaal het getal 6 bevat.

Het singleton {0} is een radicaal ideaal als en slechts als   geen nilpotente elementen heeft behalve 0 zelf.

Kenmerkende eigenschapBewerken

Een ideaal   van de ring   is radicaal dan en slechts dan als de factorring   geen niet-triviale nilpotente elementen heeft.

PriemideaalBewerken

  Zie Priemideaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een ideaal   heet priemideaal als het niet de ring zelf is, en als voor elke twee elementen   en   in de ring, het product   alleen dan in   ligt als   of   zelf in   ligt.

Een priemideaal is altijd radicaal.

VoorbeeldenBewerken

In de gehele getallen vormt de verzameling  -vouden een priemideaal dan en slechts dan als   een priemgetal is, vandaar de naam.

Als het singleton {0} een priemideaal is, dan is de ring   een integriteitsgebied.

De reële  -matrices met determinant 0 vormen een priemideaal.

De reële veeltermen met gegeven nulpuntenverzameling   vormen een priemideaal dan en slechts dan als   een singleton is.

Kenmerkende eigenschapBewerken

Een ideaal   van   is priem dan en slechts dan als de factorring   een domein is.

Maximaal ideaalBewerken

Een ideaal   heet maximaal als het niet de ring zelf is, en als de ring zelf het enige ideaal is, waarvan   een strikte deelverzameling is.

In een commutatieve ring met eenheidselement is een maximaal ideaal altijd een priemideaal.

VoorbeeldenBewerken

In de gehele getallen zijn alle priemidealen maximaal. Dit is een eigenschap van alle hoofdideaalringen en het behoort tot de definiërende voorwaarden van Dedekind-ringen.

Het singleton {0} is een maximaal ideaal dan en slechts dan als de ring een lichaam is.

Elementaire eigenschappenBewerken

Een ideaal   van   is maximaal dan en slechts dan als de factorring   een lichaam is.

Elke ring heeft een maximaal ideaal. Een ring met maar één maximaal ideaal heet lokale ring.

Elk niet-triviaal ideaal is deel van een maximaal ideaal.

Jacobson-radicaalBewerken

Het Jacobson-radicaal van een commutatieve ring   is de doorsnede van alle maximale idealen van