Hoofdmenu openen
De figuur van y = x2x − 2.

In de wiskunde is een polynoom of veelterm de som van het meervoudig machtsverheffen van een variabele die gewoonlijk wordt genoemd. Als formule:

waarin een natuurlijk getal is en waarbij de coëfficiënt van de hoogste macht van ongelijk aan 0 is.

De bovengenoemde uitdrukking waarin alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0, die dus gelijk is aan 0, heet de nulpolynoom.

De getallen heten de coëfficiënten van de polynoom en het getal heet de graad van de polynoom.

Polynomiale functies, dat wil zeggen polynomen opgevat als functie, vormen een belangrijke klasse van functies met veel toepassingen in andere wetenschappen zoals natuurkunde en economie. Het zijn relatief eenvoudige gladde functies, wat wil zeggen dat zij continu en willekeurig vaak differentieerbaar zijn. Zij worden onder meer gebruikt als benadering voor ingewikkelder functies.

Inhoud

CoëfficiëntenBewerken

Voorbeelden van oneindige verzamelingen waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de natuurlijke getallen, gehele getallen, de rationale getallen, de reële getallen en complexe getallen. We spreken dan van polynomen over  ,  ,  ,   of  . Wanneer de coëfficiënten van een polynoom   uit een van deze verzamelingen worden gekozen en de variabele   uit  , heet   een holomorfe functie.

Het is ook mogelijk de coëfficiënten en de variabele uit een eindig lichaam of veld te kiezen, genoteerd met   of GF(q). q, het aantal elementen in het eindig lichaam, is een priemgetal of de macht van een priemgetal.

Voor het domein van polynomen wordt in het algemeen de verzameling van de reële getallen   of de complexe getallen   genomen. Voor berekeningen in de algebra is het meestal niet nodig aan te geven, over welk domein een polynoom is gedefinieerd. De verzamelingen polynomen die bij de verschillende soorten coëfficiënten horen, vormen steeds een ring. Een ring van polynomen heet een veeltermring.

De coëfficiënten van een polynoom   zijn de symmetrische functies van  , uitgedrukt in de nulpunten van  .

DefinitiesBewerken

De verzameling van alle polynomen wordt genoteerd met  . De verzameling van alle polynomen van graad  , samen met de nulpolynoom, wordt genoteerd met  . Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De basisvectoren zijn dan de machten van  . De ruimte   is  -dimensionaal.

De constante functie ongelijk aan 0 is een polynoom van de graad 0. Polynomen van de graad 1 heten lineair, en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen, dat zijn de eerstegraadspolynomen, vormen functies met als grafiek een rechte lijn, de tweedegraadspolynomen vormen functies met parabolen als grafiek.

Wordt de polynoom   gelijkgesteld aan 0, dan ontstaat de vergelijking  . De graad van de vergelijking is de graad van de polynoom. Een tweedegraadsvergelijking heet ook vierkantsvergelijking. Derdegraadsvergelijkingen, vierdegraadsvergelijkingen, vijfdegraadsvergelijkingen en zesdegraadsvergelijkingen hebben genoeg speciale eigenschappen om ze apart te bestuderen.

Een polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee basisbewerkingen van de rekenkunde een eindig aantal keren voorkomen: dat zijn de optelling en de vermenigvuldiging, of een uitdrukking die op die manier kan worden herschreven. Men onderscheidt reële polynomen, waarin alleen reële getallen als coëfficiënt voorkomen, en complexe polynomen, met complexe coëfficiënten.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd, die zegt dat elke veelterm van de graad   over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in   lineaire factoren:

 .

De getallen   staan bekend als de nulpunten van de polynoom, of als wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking. Men noemt het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als we elk nulpunt even vaak meetellen als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Voor reële polynomen geldt net als voor complexe polynomen dat zij   complexe nulpunten hebben. Iedere reële polynoom van oneven graad heeft ten minste één reëel nulpunt en de niet-reële, de complexe nulpunten komen steeds in complex toegevoegde paren voor. Er is geen algoritme dat voor willekeurige polynomen van een graad groter dan 4 de nulpunten met de wortels uit getallen kan schrijven.

Een breuk van twee polynomen heet een rationale functie.

Criterium van EisensteinBewerken

Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom die aan het criterium voldoet, is irreducibel over de rationale getallen, en daarmee ook over de gehele getallen.

Nulpunten van een polynoomBewerken

Volgens de hoofdstelling van de algebra is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een constante:

 ,

waarin de   de nulpunten zijn van de polynoom.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen. Zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende   van de volgende vorm:

 .

Hierin is elke   een constante die de  -de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van de polynoom, dit is de grootste waarde van   waarvoor geldt dat  , wordt ook de graad van de vergelijking genoemd.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, heet een transcendent getal.

VoorbeeldBewerken

De ontbinding van de polynoom   is:

 .

De drie nulpunten van   zijn   en  .

DifferentiërenBewerken

Differentiëren van een polynoom verlaagt de graad van de polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van   van de graad 3 geeft de afgeleide polynoom   van de graad 2.

Volgens de stelling van Marden zijn de nulpunten van de afgeleide van een derdegraads polynoom in  , waarvan de nulpunten niet op één lijn liggen, gelijk aan de brandpunten van Steiners ingeschreven ellips van de driehoek die door die nulpunten wordt gevormd. De coëfficiënten van de polynoom mogen hierin complex worden genomen.

Deling van polynomenBewerken

In het algemeen kan een polynoom   gedeeld worden door een polynoom   waarvan de graad lager is dan die van  . De rest bij deling is een polynoom  , of 0 wanneer   precies door   is te delen. Algemeen geldt:

 ,

waarin de polynoom   de quotiëntpolynoom is.

De daadwerkelijke deling van een polynoom door een andere polynoom van lagere, of eventueel gelijke graad, kan door staartdelen.

Als   de graad van   is en   de graad van  , geldt dat de graad van   gelijk is aan   en de graad van   ten hoogste gelijk is aan  . In het geval dat  , gaat de deling precies op, en is   het product van   en  . Voor de graden geldt  , met   de graad van  .

VoorbeeldBewerken

x+1 / 4x³+5x²+3x+2 \ 4x²+x+2
      4x³+4x²
      ———————
           x²+3x+2
           x²+ x 
           ———————
              2x+2
              2x+2
              ————
                 0

Dus is  .

Factor- en reststellingBewerken

Men kan eenvoudig controleren of een polynoom   een factor   heeft. Substitueer   in  , dan moet gelden  . Is  , dan is   de rest bij de deling van   door  , immers:

 ,

waarin de rest   een constante is. Substitutie van   geeft:

 .

Dit resultaat heet de reststelling voor polynomen. Op deze reststelling zijn in het tientallige stelsel de negenproef en de elfproef gebaseerd.

De elfproef berust op het feit dat in het tientallig stelsel 10 modulo 11 congruent is met −1. Dit wordt gebruikt om aan te tonen dat modulo 11 het getal 4532 congruent is met 0, en dus deelbaar is door 11. Immers   is een factor van  , want

 ,

en dus is

 .

HornerschemaBewerken

Het Hornerschema is een algoritme om efficiënt een veelterm in een punt x0 te evalueren of om een polynoom snel te delen door een lineaire polynoom.

Karakteristieke polynoomBewerken

Het is mogelijk voor de variabele een matrix te substitueren. Bij iedere matrix   hoort een karakteristieke polynoom  . Substitutie van de matrix   in   levert de nulmatrix op:  .

De karakteristieke polynoom   van een vierkante  -matrix   is

 

Waarin

De nulpunten van de karakteristieke polynoom zijn de eigenwaarden van de matrix. Dit vindt toepassingen in de sterkteleer, de kwantummechanica, trillingen, de akoestiek enz.

Domein van de coëfficiëntenBewerken

Een polynoom is volledig bepaald door z'n coëfficiënten. Als het niet om de corresponderende functie gaat, is niet aan de orde welke waarden   kan aannemen; de polynomen corresponderen een-op-een met eindige rijen getallen (de coëfficiënten). Dan bestaat de rol van de variabele   er slechts in de notatie als som van gewogen machten van   mogelijk te maken, en zo op natuurlijke wijze de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van de polynomen in te voeren. Vooral voor het vermenigvuldigen is deze notatie handig, men hoeft niet een speciale regel voor het vermenigvuldigen van eindige rijen getallen toe te passen.

Er zijn ook polynomen met andere coëfficiënten dan reële getallen, of met coëfficiënten die beperkt zijn tot een deel van de reële getallen. Als de verzameling waaruit de coëfficiënten worden gekozen een commutatieve ring is, vormen de polynomen ook een commutatieve ring.

Bij een gegeven commutatieve ring kan men de coëfficiënten kiezen uit een deelring (eventueel de ring zelf) en als domein van de polynomiale functies een deelverzameling van de ring (eventueel weer de ring zelf) nemen. De afbeelding die aan een polynoom de bijbehorende polynomiale functie toevoegt, is dan lineair. De afbeelding is dan en slechts dan injectief, als alleen de polynoom die identiek nul is, een functie oplevert die de nulfunctie is (een functie die bij ieder argument uit het domein de waarde 0 oplevert). Dit is niet het geval als het domein van de polynomiale functies eindig is en een deelverzameling van de deelring, men kan dan eenvoudig een polynoom construeren die niet identiek nul is, maar waarbij wel de erdoor vastgelegde functie bij elk argument nul oplevert (nulfunctie). Er zijn dan bij een polynomiale functie (wat trouwens iedere functie dan is) oneindig veel corresponderende polynomen.

Dit onderstreept de verschillen tussen een polynoom als uitdrukking en een polynoom als functie. Let wel, als het domein een oneindige verzameling is, is er wel een een-op-een correspondentie tussen de uitdrukkingen en de functies.

Polynoom versus polynomiale functieBewerken

Een voorbeeld van het onderscheid tussen polynoom en bijbehorende polynomiale functie is het volgende. Beschouw polynomen met coëfficiënten uit het eindige lichaam  , dit is de verzameling   waarbij optellen en vermenigvuldigen plaatsvindt modulo 5.

Zowel   als   zijn polynomen over  . Het zijn duidelijk twee verschillende polynomen. Als (polynomiale) functies met als domein en bereik   zijn ze echter aan elkaar identiek, want voor iedere   uit   geldt, rekenend modulo 5, dat  .

Twee van elkaar verschillende polynomen kunnen dus eenzelfde bijbehorende polynomiale functie hebben.

Veeltermen in meer variabelenBewerken

Er zijn ook veeltermen in meer dan één variabele. Een veelterm in   variabelen (x1 tot xm) van de orde n, is dan een uitdrukking van de volgende vorm, of daartoe herleidbaar:

 ,

waarin ten minste een van de coëfficiënten   ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

 ,

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht   heet de graad van de variabele  . Het getal   heet de graad van de term  . Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Specifiek voor een polynoom in één variabele   is de hoofdstelling van de algebra van toepassing, die zegt dat de polynoom is te schrijven als het product van een constante en een aantal keer het verschil tussen   en een andere constante. Deze stelling is niet eenvoudig uitbreidbaar naar een polynoom in meer variabelen.

VoorbeeldenBewerken

De volgende veelterm   in drie variabelen   en   is van de orde drie. Alle coëfficiënten zijn geheel en de producten staan in volgorde van opklimmende orde, of graad:

 

  is te vereenvoudigen tot  . Een willekeurig gekozen polynoom in meer variabelen is meestal niet zo mooi te ontbinden.

CuriosumBewerken

Er bestaan polynomen  ,  , die voor de eerste waarden van   een priemgetal zijn.[1]

James Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada en Douglas Wiens bewijzen in hun artikel voor de Mathematical Association of America dat de volgende veelterm in de 26 variabelen   t/m   over de natuurlijke getallen met graad 25 behalve negatieve waarden, alleen alle priemgetallen als positieve waarden aanneemt:[2]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Eerder hadden Martin Davies, Joeri Matijasevitsj, Hilary Putnam en Julia Robinson het bestaan bewezen van een dergelijke veelterm.

In het artikel van Jones, Sata, Wado en Wiens wordt bewezen, dat voor alle combinaties   tot en met   waarvoor alle termen in de tweede factor vanaf de tweede inderdaad gelijk aan 0 zijn,   altijd een priemgetal is en dat alle priemgetallen een keer als   in een dergelijke combinatie voorkomen. Er moet om tot een positieve uitkomst te komen een stelsel van diofantische vergelijkingen worden opgelost.

Aan het einde van het artikel wordt bewezen dat polynomen over de natuurlijke getallen, die overal een priemgetal als waarde hebben, de graad nul moeten hebben, m.a.w. een constante zijn.[2]

Speciale polynomenBewerken

ToepassingenBewerken

Polynomen worden veel toegepast in algoritmen, onder andere in Savitsky-Golayfilters.

Polynomen met complexe coëfficiënten komen bijvoorbeeld voor bij de oplossing van differentiaalvergelijkingen door fouriertransformatie of laplacetransformatie. Dit heeft praktische toepassingen in de elektrotechniek, regeltechniek, communicatietechniek en de kwantummechanica.

WebsitesBewerken