Hoofdmenu openen

Een continue functie is in de wiskunde een functie waarvan kleine veranderingen van een variabele resulteren in kleine veranderingen van de functiewaarde. Continue afbeeldingen zijn onderwerp van studie in bijvoorbeeld de analyse en de topologie.

Veel bekende functies op de reële getallen, zoals voor , de e-macht, de functies sinus en cosinus, zijn continu. Ook zijn de som, het verschil en het product van twee continue functies weer continu. Er bestaan verschillende definities van het begrip continuïteit. De bekendste is de epsilon-delta-definitie, die de bovenstaande populaire formulering precisieert.

Inhoud

DefinitieBewerken

AnalyseBewerken

Een functie   heet continu in het punt  , als er voor elke   een   is, zodanig dat voor alle punten   waarvoor  , die dus bij   in de buurt liggen, geldt dat  , wat inhoudt dat ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen.

Een equivalente definitie is dat een functie   continu is in een punt   als  .

De functie   is continu als deze continu is in iedere a in het domein van  .

MeetkundeBewerken

Het begrip continuïteit kan uitgebreid worden naar metrische ruimten. Als   en   metrische ruimten zijn met respectievelijke metrieken   en  , en   is een punt in  , dan is een functie   continu in het punt   als er voor elke   een   is, zodanig dat voor elk punt   waarvoor   geldt dat  .

Een functie is continu op  , of kortweg continu, als de functie continu is in elk punt van  .

TopologieBewerken

  Zie continue functie (topologie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de topologie heet een afbeelding   van de topologische ruimte   naar de topologische ruimte   continu in het punt  , als voor elke omgeving   van   er een omgeving   van   bestaat zodanig dat  . Als   continu is in elke  , zegt men simpelweg dat   continu is. Aangetoond kan worden dat voor metrische ruimten, die altijd ook topologische ruimten zijn, de beide begrippen van continuïteit equivalent zijn.

VoorbeeldenBewerken

De blauwe en de rode krommen zijn continu, de groene niet (er zijn sprongpunten).

In de onderstaande figuur staan de afgeleiden van bovenstaande krommen voor zover deze bestaan. De groene lijn heeft twee onderbrekingen (niet aangegeven in de figuur). Van de rode kromme is de afgeleide in het middengedeelte gelijk aan 0.

Merk op dat, hoewel de rode kromme continu was, zijn eerste afgeleide niet continu is, er zijn twee sprongpunten in de afgeleide: punten waar de richtingscoëfficiënt in de kromme (zie bovenste figuur) verandert.

IntuïtieBewerken

Intuïtief wordt weleens aangenomen dat een functie alleen continu is indien de grafiek geen sprongen vertoont. Dit is echter niet waar. Een voorbeeld hiervan is de functie   gegeven door:

 

Deze functie maakt duidelijk een sprong in 1, maar is continu. Dit is te verklaren doordat 1 niet in het domein van de functie ligt.

Uniforme continuïteitBewerken

Een functie   heet uniform continu als voor elke   een   bestaat, zodat voor alle   geldt dat uit   volgt dat  .

Uniforme continuïteit is sterker dan gewone continuïteit, elke functie die uniform continu is is ook continu. Het omgekeerde geldt echter niet altijd. Beschouw weer de functie   gegeven door:

 

Deze is continu maar niet uniform continu.

Stuksgewijze continuïteitBewerken

Als er een partitie van het domein van   bestaat waarvoor   uniform continu is in elk interval, dan is   stuksgewijze continu. Dit houdt niet noodzakelijk in dat   in de randpunten van de deelintervallen gedefinieerd is. Wegens de definitie van uniforme continuïteit kan men besluiten dat   uitbreidbaar is in de randpunten van de deelintervallen.

Een stuksgewijze continue functie kan opgevat worden als een aaneenschakeling van continue functies in een gesloten interval.

In voorbeeld 1 hierboven is de groene functie een stuksgewijs continue functie.

Eigenschappen van continue functiesBewerken

Bij de bewijzen van de volgende eigenschappen van continue functies is de stelling van de kleinste bovengrens nodig.

  • Elke functie die op een gesloten en begrensd interval continu is, is daar ook begrensd. De geslotenheid is hier van belang: de functie   is op het interval ]0, 1] wel continu, maar niet begrensd.
  • Een functie die continu is op een bepaald interval en daar positieve en negatieve waarden aanneemt, heeft in dat interval ten minste één nulpunt. Een gevolg daarvan is:
  • Een functie   die op een gesloten interval   continu is en verschillende waarden aanneemt in   en  , neemt op dat interval elke waarde tussen   en   aan.
  • Een continue functie beeldt compacte verzamelingen op compacte verzamelingen af.
  • Een continue functie beeldt samenhangende verzamelingen op samenhangende verzamelingen af.
  • Een functie die differentieerbaar is in het punt  , is ook continu in  ; het omgekeerde geldt niet algemeen.

Bewijs voor continuïteit in geval van differentieerbaarheidBewerken

Stel dat de functie   differentieerbaar is in  . Dan is:

 ,

dus is   continu in  .