Hoofdmenu openen

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de kardinaliteit van een verzameling de veralgemening van het "aantal elementen in een verzameling", die ook van toepassing is voor oneindige verzamelingen. Een verzameling is eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar. De kardinaliteit van een eindige verzameling is gewoon het aantal elementen. Alle aftelbaar oneindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit. Er bestaan overaftelbare verzamelingen van verschillende kardinaliteit.

De kardinaliteit van een verzameling wordt aangeduid met , met een verticale streep aan elke kant; dit is dezelfde notatie als die voor absolute waarde. De betekenis is afhankelijk van de context. Soms wordt ook wel de notatie gebruikt.

Er zijn twee manieren om het begrip kardinaliteit te benaderen — in de ene benadering vergelijkt men verzamelingen rechtstreeks door gebruik te maken van bijecties en injecties, in de andere maakt men gebruik van kardinaalgetallen.

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden afgebeeld, dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling één en niet meer dan één element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook bijectieve functies). Deze verzamelingen worden dan gelijkmachtig of equipotent genoemd.

Inhoud

Vergelijken van verzamelingenBewerken

Men kan de volgende drie gevallen onderscheiden:

  •  
Twee verzamelingen   en   hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat van   naar  .
De verzameling   van even natuurlijke getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling   van natuurlijke getallen zelf, aangezien de functie   een bijectie is van   naar  .
  •  
  heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van   als er een injectie van   naar   bestaat, maar geen bijectie.
De verzameling   van alle reële getallen heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van de verzameling   van alle natuurlijke getallen, omdat de inclusieafbeelding   injectief is, en het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van   naar   bestaat.
  •  
  heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van   als er een injectie van   naar   bestaat.

KardinaalgetallenBewerken

  Zie Kardinaalgetal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een verzameling   bestaat onder deze relatie uit al die verzamelingen die dezelfde kardinaliteit als   hebben. Er zijn twee manieren om de "kardinaliteit van een verzameling" te definiëren:

  1. De kardinaliteit van een verzameling   wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.
  2. Er wordt voor elke equivalentieklasse een representatieve verzameling aangewezen.

De kardinaliteiten van de oneindige verzamelingen worden aangeduid door

  .

Voor elke ordinaal  , is   het kleinste kardinaalgetal groter dan  .

Eindige verzamelingBewerken

Van een eindige verzameling is de kardinaliteit het aantal elementen in de verzameling; ook omgekeerd geldt: als de kardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, is die verzameling eindig. En twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Oneindige verzamelingBewerken

Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige kardinaliteit is die van de natuurlijke getallen; deze kardinaliteit wordt   (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan; deze worden ook met een alef-getal aangegeven:  .

Kardinaliteit van het continuümBewerken

  Zie Kardinaliteit van het continuüm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een van Cantors belangrijkste resultaten was dat het kardinaliteit van het continuüm (c of  ) groter is dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen ( ); dat wil zeggen dat er meer reële getallen   dan natuurlijke getallen   bestaan. Cantor toonde aan (zie diagonaalbewijs van Cantor) dat

 

De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaalgetal bestaat tussen de kardinaliteit van de reële getallen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen

 

(zie Beet-getal).

De continuümhypothese kan binnen de algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, tenminste indien deze axiomatische verzamelingenleer consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

InformaticaBewerken

In de informatica slaat kardinaliteit doorgaans op relaties tussen tabellen of associaties tussen klassen/objecten. Dan is dit het aantal keer dat een relatie/associatie voor kan/mag komen. Dit kan bijvoorbeeld zijn: 0 of meer, 1 of meer, 1, 2, 100, 1 tot 20.

Zie ookBewerken