Hoofdmenu openen

In de wiskunde wordt met de term inverse een aantal verwante begrippen aangeduid, zoals inverse bewerking, inverse van een getal of variabele ten opzichte van een bepaalde operatie en daarmee samenhangend de inverse van een element van een groep, de inverse van een functie of afbeelding, en daaruit voortvloeiend de inverse van een matrix.

Inverse bewerkingBewerken

Onder de inverse bewerking van een (rekenkundige) operatie verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse of tegengestelde operatie van optellen, delen is de inverse operatie van vermenigvuldigen. Met machtsverheffen zijn er twee mogelijkheden. Als de variabele   het grondtal is, bijvoorbeeld in   is worteltrekken de inverse bewerking van machtsverheffen. Als   in de exponent staat, bijvoorbeeld in   is de logaritme de inverse van machtsverheffen.

Inverse van een getal of variabeleBewerken

Vermenigvuldigen we een getal eerst met 3 en daarna met 1/3 dan is het eindresultaat het oorspronkelijke getal. De getallen 3 en 1/3 leveren immers als product het getal 1 op, dat voor de vermenigvuldiging het neutrale element is. Zij heten daarom elkaars inverse ten opzichte van de bewerking vermenigvuldigen. Zo heeft elk getal of variabele   mits ongelijk 0, met betrekking tot de vermenigvuldiging een inverse  

Algemeen verstaat men onder de inverse van een variabele   ten opzichte van een bepaalde binaire bewerking het getal   waarvoor het resultaat van de bewerking toegepast op   en dat getal het neutrale element van die bewerking oplevert.

Bij het rekenen modulo een getal   is de vermenigvuldigingsinverse van het getal   bepaald door:

 

Als   bijvoorbeeld gelijk is aan 29, kunnen van de getallen 1 tot en met 28 de inversen berekend worden. Zo is 25 de inverse van 7, want

 

Om de vermenigvuldigingsinverse te bepalen wordt het euclidisch algoritme gebruikt.

Inverse van een functie of afbeeldingBewerken

Zoals in het artikel functie uiteengezet, kan men bij een bijectieve afbeelding   een inverse afbeelding   definiëren, die als het ware het omgekeerde van   bewerkstelligt. Past men eerst   toe op   en vervolgens op het resultaat   de inverse afbeelding   dan is het resultaat weer gelijk aan   in formulevorm

 

Aan de hand van een voorbeeld zien we hoe van een functie de inverse bepaald kan worden. Zij:

 

Dit is een bijectieve functie, waarvan dus de inverse bestaat. De inverse functie  voegt aan een beeld   het origineel   toe:

 .

Door het oplossen van   uit de vergelijking:

 ,

volgt

 

Dus voor   is:

 

Andere voorbeeldenBewerken

  •  


  • Voor een oneven natuurlijk getal n geldt  


  •  

Inverse transformatieBewerken

Ook bij transformaties is er sprake van inverse transformaties. Een transformatie is een (partiële) functie van een verzameling naar zichzelf. Zo zijn "Verdubbeling" en "Halvering" transformaties van de verzameling van de reële getallen. De ene transformatie is de inverse van de andere.

Onder een functietransformatie verstaan we een bewerking die een functie via een bepaald voorschrift afbeeldt op een andere functie.

Een voorbeeld van een inverse functietransformatie is de inverse Laplacetransformatie.

Inverse van een matrixBewerken

De inverse matrix (zie aldaar) van een vierkante inverteerbare matrix is de inverse ten opzichte van de bewerking matrixvermenigvuldiging. Omdat matrixvermenigvuldiging overeenkomt met na elkaar toepassen van de bijbehorende (lineaire) afbeeldingen, is de inverse van een matrix ook de matrix van de inverse afbeelding.

Inverse van een partiële ordeBewerken

De inverse van een partiële orde wordt verkregen door de beide operanden te verwisselen.