Hoofdmenu openen
Een differentieerbare functie

Binnen de tegenwoordige wiskunde is differentieerbaarheid een van de grondbegrippen, met name binnen de analyse. Ruwweg noemt men een functie differentieerbaar als ze een afgeleide heeft. De term afleidbaar is een synoniem. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de natuurkunde, is Isaac Newton.

Differentieerbaar in een puntBewerken

Een functie   met als domein   heet differentieerbaar in   als geldt dat de volgende limiet bestaat:

 

Deze limiet wordt de afgeleide waarde van   in   genoemd.

Meestal zal   een deelverzameling van de reële getallen   zijn. Het quotiënt en de limiet blijven echter hun betekenis houden in (delen van) de complexe getallen  ; in dat geval heet de functie complex differentieerbaar als de limiet bestaat.

Als   differentieerbaar is in  , is   automatisch ook continu in  .

Differentieerbare functieBewerken

Een functie   die differentieerbaar is in elk punt   heet een differentieerbare functie.

De functie   die in elk punt   de afgeleide waarde van   als functiewaarde heeft, heet de afgeleide functie  van  .

Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling   heet ook wel (complex) analytisch of holomorf. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de complexe analyse, ook wel functietheorie genoemd.

VoorbeeldenBewerken

De functie   met domein   is niet (overal) differentieerbaar, want de afgeleide in   bestaat niet.

De functie   met domein   is wel differentieerbaar. De afgeleide functie is  

Meer dimensiesBewerken

Het begrip differentieerbaarheid kan worden gegeneraliseerd tot meerdimensionale functies van meer dan één veranderlijke

 

Meer dan één veranderlijkeBewerken

De uitbreiding voor   (vectorwaardige functies) is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog gedefinieerd is voor vectoren in  . De functie   kan geschreven worden in termen van componentfuncties

 

en   is differentieerbaar dan en slechts dan als alle   afzonderlijk differentieerbaar zijn.

Meerdimensionale functiesBewerken

De uitbreiding voor   ligt minder voor de hand, omdat het niet duidelijk is wat de limieten betekenen.

Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. We zeggen dat de functie van meer veranderlijken   in het punt   partieel differentieerbaar is naar de  -de veranderlijke  , als de functie

 

(gewoon) differentieerbaar is in  . Merk op dat elke   een functie is van   naar  . De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke heet partiële afgeleide van   naar de  -de veranderlijke, genoteerd als

 

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle   veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

De functie   heet totaal differentieerbaar in een punt   als er een lineaire afbeelding

 ,

bestaat met de eigenschap

 

Daarin stelt   de bekende euclidische norm voor. Verder is   een vector in  , waarvan in de limiet de norm willekeurig klein gemaakt wordt.

De lineaire afbeelding   heet de (totale) afgeleide van   in de vector  . In het geval   is de lineaire afbeelding de vermenigvuldiging met het getal  .

Als   totaal differentieerbaar is in   is ze ook continu in   én partieel differentieerbaar in elk van de   veranderlijken afzonderlijk. De lineaire afbeelding   kan worden voorgesteld door een matrix, de jacobi-matrix  , met als elementen de verschillende partiële afgeleiden van   in  

 ,

Waarin alle elementen in het punt   geëvalueerd moeten worden: