Hoofdmenu openen

Inhoud

Algemeen gebruikBewerken

De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.[1][2]

1. Een binaire operatie   op een verzameling   wordt commutatief genoemd als voor alle elementen   geldt:

 

Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd

2. Een binaire functie   wordt commutatief, of symmetrisch, genoemd, als voor alle elementen   geldt:

 

In het algemeen zegt men dat twee elementen   en   commuteren onder de operatie  , als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig tweetal elementen met elkaar commuteert.

CentralisatorBewerken

De centralisator van een element   bestaat uit de elementen van   die met   commuteren. Algemener: de centralisator van een deelverzameling   van   bevat de elementen van   die met alle elementen van   commuteren.

VoorbeeldenBewerken

Commutatieve handelingen in het dagelijks levenBewerken

  • Bij het teruggeven van de wisselgeld maken we gebruik van de commutativiteit van optellen. Het maakt immers niet uit in welke volgorde we de munten teruggeven, de munten tellen ongeacht de volgorde, waarin ze worden teruggegeven, altijd op tot hetzelfde bedrag.

Commutatieve operaties in de wiskundeBewerken

De bekendste voorbeelden van binaire commutatieve operaties zijn optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen:

 ; voorbeeld: 5 + 2 = 7 = 2 + 5
 ; voorbeeld: 5 × 6 = 30 = 6 × 5

Andere commutatieve binaire operaties zijn o.a. optellen en vermenigvuldigen van reële en complexe getallen, optellen van vectoren en het inproduct.

Niet-commutatieve operaties in de wiskundeBewerken

Voorbeelden van operaties die niet commutatief zijn:

CommutatorBewerken

De groepentheorie en de theorie der ringen hanteren elk een verschillend begrip van commutator, dit is een element dat intuïtief de mate aangeeft waarin   en   niet commuteren.

Commutatief diagramBewerken

In de categorietheorie is een diagram commutatief als elke twee samenstellingen van morfismen in het diagram die hetzelfde domein en doel hebben, gelijk zijn.

VoetnotenBewerken

  1. Krowne, p.1
  2. Weisstein, Commute, p.1

Zie ookBewerken