Wiskundige structuur

In de wiskunde zegt men dat een verzameling een structuur heeft als er, behalve de verzamelingtheoretische begrippen, nog andere begrippen op van toepassing zijn, zoals de afstand tussen de elementen van een verzameling, de optelling van de elementen, of de volgorde van de elementen.

Een gedeeltelijke lijst van mogelijke structuren is: maten, algebraïsche structuren (groepen, velden, enz.), topologieën, metrische ruimten, meetkunden, ordeningen, equivalentierelaties en differentiële structuren.

Soms is een verzameling uitgerust met meer dan één structuur. Dit stelt wiskundigen in staat deze verzameling op meerdere manieren te bestuderen. Bijvoorbeeld: een orde induceert een topologie. Een ander voorbeeld: als een verzameling zowel een topologie heeft als een groep is, en deze twee structuren op een bepaalde manier aan elkaar gerelateerd zijn, is deze verzameling een topologische groep.

Afbeeldingen tussen verzamelingen die structuren behouden (zodat structuren in het domein worden afgebeeld op equivalente structuren in het codomein), zijn in vele gebieden van de wiskunde van bijzonder belang. Voorbeelden hiervan zijn homomorfismen, die algebraïsche structuren behouden, homeomorfismen, die topologische structuren behouden, en diffeomorfismen, die differentiële structuren behouden.

Voorbeeld: de reële getallenBewerken

De verzameling van reële getallen kent verschillende standaardstructuren:

Tussen deze standaardstructuren bestaan de volgende verbindingen: