Magma (wiskunde)

wiskunde
Algebraïsche structuur

Groep · Halfgroep · Ideaal · Lichaam/veld · Magma · Monoïde · Ring

Algebra · Moduul · Vectorruimte

Boolealgebra · Categorie · Tralie

In de abstracte algebra is een magma (ook groepoïde genoemd, niet te verwarren met groepoïde in de categorietheorie) een basale algebraïsche structuur. Specifiek bestaat een magma uit een niet-lege verzameling die is uitgerust met een enkele binaire operatie, , waaraan geen verdere eisen worden gesteld. De enige structuur in is dus de binaire operatie , die aan twee elementen en in het element toevoegt. Magma's als zodanig worden niet (veel) bestudeerd, maar gelden vanwege de aanwezige bewerking, als basisstructuren voor rijkere structuren in de abstracte algebra. De term magma werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Een magma noteert men als het paar , waarin de verzameling is en de binaire bewerking.

Het aantal elementen van een magma wordt de orde van de magma genoemd en genoteerd als of .

Eindige magma's kan men volledig voorstellen in een zogenaamde Cayley-tabel, die de resultaten van de bewerking opsomt.

Types magma'sBewerken

Magma's worden niet vaak als zodanig bestudeerd; er zijn verschillende soorten magma's, afhankelijk van welke axioma's men oplegt aan de operaties. Vaak bestudeerde soorten magma's zijn

Enkele voorbeeldenBewerken

  • De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als  , vormen een magma.
  • De gehele getallen met de aftrekking, genoteerd als  , vormen een magma.
  • De natuurlijke getallen met de aftrekking, genoteerd als   zijn géén magma, want voor bijvoorbeeld   is  , dus is het verschil niet voor alle elementen gedefinieerd binnen  .

Morfisme van magma'sBewerken

Een morfisme van magma's is een functie   die het magma   afbeeldt op het magma   en die de binaire operatie:

 

in stand houdt, waarin   en   de binaire operaties op respectievelijk   en   aanduiden.

Vrij magmaBewerken

Voor elke niet-lege verzameling   kan men het vrije magma over   definiëren als het "meest algemene" magma dat door   wordt voortgebracht. Het kan beschreven worden als het magma van alle eindige bomen met de bladeren in  . De compositie   van twee bomen   en   is de boom waarvan de wortel   als linker onderboom en   als rechter onderboom heeft. Men kan elk element van het vrije magma noteren als uitdrukking in de elementen van   en haakjes. Zo bevat bijvoorbeeld voor   het vrije magma over   onder meer de elementen:

  enz.