Hoofdmenu openen

In de wiskunde is convergentie een eigenschap van sommige rijen dat naarmate men verder in de rij komt de elementen van de rij een bepaalde waarde blijken te naderen. Zo'n rij heet convergent en de benaderde waarde wordt de limiet van de rij genoemd.

Zo convergeert de rij

overduidelijk naar de limiet 0.

In de wiskunde is men nog iets preciezer, en wordt de genoemde rij bijvoorbeeld niet als convergent beschouwd in de positieve getallen, omdat er geen positief getal is waarnaar de rij streeft.

Men zegt dat een numerieke rij convergeert naar een bepaald getal, de limiet van de rij genoemd, als er voor elke omgeving, hoe klein ook, van dat getal bijna alle elementen van de rij tot de gekozen omgeving behoren. Dit wordt precies geformuleerd in de volgende definitie.

Inhoud

DefinitieBewerken

De rij getallen   uit de verzameling   heet convergent binnen   als er een getal   is, zodanig dat bij ieder getal   er een   is, waarvoor geldt dat   voor alle  .

Dit wordt genoteerd als:

 

of als

 

of eenvoudig als

 

In formele notatie luidt de definitie: de rij   heet convergent in   als

 .

Het getal   heet limiet van de rij; dit getal is eenduidig bepaald (een rij kan maar één limiet hebben).

Convergentie moet worden gezien in relatie tot de beschouwde topologische ruimte (verzameling en topologie) waarin het geheel zich afspeelt. Als er een limiet bestaat, maar niet binnen de beschouwde verzameling, dan is er geen sprake van convergentie. Het kan bijvoorbeeld gaan om een irrationale limiet als de beschouwde verzameling die van de rationale getallen is (zie Cauchyrij). Voor convergentie naar oneindig zie onder.

DivergentieBewerken

Een rij die niet convergent is, wordt divergent genoemd.

VoorbeeldenBewerken

Een voorbeeld van een convergente rij is:

 

die op het oog naar de limiet 1 convergeert. Dit kan met de definitie aangetoond worden, immers, kies  , en

 .

Dan geldt voor alle   dat

 .

Voor   geldt voor alle termen dat

 

Enkele voorbeelden van divergente rijen zijn:

  • 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
  • −1, 2, −1, 2, −1, 2, −1, 2, −1, 2, ...
  • 1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 4, 1/5, 5, 1/6, ...
  • 3, 4, −5, 6, 4, −10, 9, 4, −15, 12, 4, −20, 15, ...

Verzameling convergente rijenBewerken

De verzameling convergente rijen in   is isomorf met een deelruimte van vectorruimte  .

Algemene convergentieBewerken

In een willekeurige metrische ruimte   convergeert een rij   als er een   in de ruimte   bestaat, zodanig dat voor elk willekeurig klein bolletje om   een natuurlijk getal   bestaat (afhankelijk van de straal van de bol) waarvoor alle termen in de rij die na   komen behoren tot de gekozen bol. Het punt   heet dan de limiet van de rij, en is uniek met die eigenschap.

In formele notatie:

 

Het voorgaande, de convergentie van een rij getallen is, een speciaal geval van deze definitie.

In een willekeurige topologische ruimte   convergeert een rij   als en slechts als er een   in   bestaat zodat voor elke omgeving van   hoe klein ook, een natuurlijk getal   bestaat (afhankelijk van de gekozen omgeving) waarvoor alle termen in de rij die na   komen behoren tot die omgeving. Het punt   heet dan een limiet van de rij. Het is niet noodzakelijk uniek met die eigenschap.

Wiskundig geformuleerd:  

Het voorgaande, de convergentie van een rij in een metrische ruimte, is gewoon een speciaal geval van deze definitie.

In een topologische ruimte   convergeert een filter   naar een punt   in   als en slechts als hij de omgevingen van dat punt bevat. Het punt   heet dan een limiet van de filter. Het is niet noodzakelijk uniek met die eigenschap.

Wiskundig geformuleerd:  

Het voorgaande, de convergentie van een rij, is gewoon een speciaal geval van deze definitie als we met elke gegeven rij   de filter associëren die wordt voortgebracht door de filterbasis

 

In het vervolg van dit artikel concentreren we ons op het bijzondere geval van convergentie van een rij getallen. Zie de reeds geciteerde artikelen limiet, metrische ruimte, topologische ruimte en filter voor voorbeelden en gevolgen van de algemenere definities.

Convergentie naar oneindigBewerken

Om te kunnen spreken van convergentie naar oneindig moet men een topologische ruimte beschouwen die oneindig als element bevat, zoals de uitgebreide reële getallenlijn   of de reële projectieve lijn, met de bijbehorende topologie.

Convergentie van nettenBewerken

De gesloten verzamelingen van een metrische ruimte kunnen volledig gekarateriseerd worden als de verzamelingen die "hun eigen limieten" bevatten, dat wil zeggen: de afsluiting van een deelverzameling van de ruimte bestaat precies uit alle limieten van convergente rijen waarvan de elementen in die deelverzameling liggen.

Voor algemene topologische ruimten is dit niet meer waar, en hiervoor hebben E. H. Moore en H. L. Smith in 1922 het begrip net of veralgemeende rij ingevoerd. Een deelverzameling van een topologische ruimte is gesloten als en slechts als ze alle limieten bevat van convergente netten in die deelverzameling.

Convergentie van filtersBewerken

Als alternatief voor netten creëerde Henri Cartan in 1937 het begip filter. Een filter convergeert naar een punt van een topologische ruimte als hij de omgevingenfilter van dat punt omvat.

Convergentie van een reeksBewerken

Een reeks   is convergent, als de rij   met   een convergente rij is (dus als   een eindige limiet heeft voor toenemende  ). De limietwaarde   wordt dan de som van de reeks genoemd.

Een reeks die niet convergent is, wordt divergent genoemd.

Een voorwaarde voor convergentie van de reeks   is dat de rij  , gevormd door de losse termen uit de reeks, convergeert naar nul.

Als de termen van een reeks functies zijn van een variabele, is het convergentiegebied van de reeks de verzameling waarden van die variabele waarvoor de reeks convergeert.

Absolute convergentieBewerken

Een reeks reële getallen heet absoluut convergent als de reeks waarvan de algemene term de absolute waarde is van die van de oorspronkelijke reeks, convergent is:

 

Absoluut convergente reeksen zijn convergent. Bovendien verandert de som van de oorspronkelijke reeks niet als de volgorde van de termen gewijzigd wordt. Dit laatste is typisch voor absoluut convergente reeksen. Als een reeks reële getallen convergent, maar niet absoluut convergent is, dan kan door een geschikte wijziging van de volgorde der termen, elke willekeurige reële limiet bereikt worden.

VoorbeeldenBewerken

Machtreeksen zijn belangrijke voorbeelden van reeksen. Hun convergentie wordt het best geanalyseerd in het complexe vlak, zelfs als de termen allemaal reëel zijn.

De harmonische reeks is niet convergent. De harmonische wisselreeks is daarentegen wel convergent (maar niet absoluut convergent):

  heeft als limiet  .

Convergentietests voor rijenBewerken

Een convergentietest is een eenvoudig te controleren voorwaarde op de algemene term van een rij getallen, die garandeert dat de rij convergeert (of juist niet).

InsluitstellingBewerken

Stel dat voor de rijen   en   geldt dat   voor alle  . Als nu de rijen   en   convergent zijn en dezelfde limiet   hebben, dan is ook de rij   convergent met limiet  

Ook geldt dat een rij convergent is als van deze rij de limes inferior gelijk is aan de limes superior.

Convergentietests voor reeksenBewerken

Een convergentietest voor een reeks reële getallen is een eenvoudig te controleren voorwaarde op de algemene term van een reeks, die garandeert dat de reeks convergeert (of juist niet).

MajorantenkenmerkBewerken

Stel dat er een   bestaat zodanig dat   voor elke  .

Dan geldt dat uit convergentie van de reeks   volgt dat de reeks   convergent is. Tevens geldt dat uit divergentie van de reeks   volgt dat de reeks   divergeert.

Kenmerk van d'Alembert (Test van d'Alembert)Bewerken

Als de absolute waarde van het quotiënt   convergeert naar een waarde   dan is de reeks convergent als   en divergent als  

  is convergent.

Voor   is convergentie onbepaald.

Deze test wordt ook de 'quotiënt-test' genoemd.

Kenmerk van CauchyBewerken

Het convergentiekenmerk van Cauchy kijkt naar de  -de-machtswortel uit   Als deze, net als het quotiënt bij het kenmerk van d'Alembert, convergeert naar een getal kleiner dan 1, dan is de reeks convergent:

  is convergent.

Deze test wordt ook de 'worteltest' genoemd.

Twee tot de n-de selectieBewerken

De reeks met niet-negatieve monotoon dalende termen   is dan en slechts dan convergent als de reeks

 

ook convergent is. Dit criterium is eenvoudig te bewijzen. De laatstgenoemde reeks is majorant aan de oorspronkelijke reeks, zodat haar convergentie ook convergentie van de oorspronkelijke reeks tot gevolg heeft. Anderzijds is de oorspronkelijke reeks majorant (op de eerste paar termen na) aan de tweede reeks gedeeld door twee. Convergentie van de oorspronkelijke reeks heeft dus convergentie van de tweede reeks tot gevolg. Convergentie of divergentie van een reeks verandert immers niet indien vooraan een eindig aantal termen worden gewijzigd, toegevoegd of weg gelaten.

Toepassing

De  -selectie van de harmonische reeks is een reeks waarvan alle termen 1 zijn. De som van oneindig veel keer 1 maakt de  -selectie divergent, en bijgevolg ook de harmonische reeks.

Criterium van LeibnizBewerken

Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent:

  voor alle   is convergent.

Integraaltest voor niet-negatieve reeksenBewerken

Beschouw een reeks met niet-negatieve monotoon dalende termen   Zij   een geheel getal. Stel dat de functie   ontstaat door de gehele variabele   in de algemene reeksterm   te vervangen door de reële variabele   Indien de functie   bestaat op het interval   en eveneens monotoon dalend is convergeert de reeks

 

enkel en alleen indien de integraal

 

ook convergeert. Indien de integraal divergeert is ook de reeks divergent. Wel is het zo dat, bij convergentie, de reekssom en de waarde van de integraal verschillend kunnen zijn.

Zie ookBewerken