Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lichaamsuitbreiding (Nederlands) of velduitbreiding (Belgisch) van een lichaam / veld , in het vervolg kort uitbreiding van genoemd, ieder lichaam/veld waarvan een (strikt) deellichaam / deelveld is. Een uitbreiding van het lichaam/veld wordt verkregen door aan een of meer nieuwe elementen toe te voegen. Men noteert de uitbreiding als , of ook wel als , of . Als uit ontstaat door daar de elementen aan toe te voegen, schrijft men voor de uitbreiding .

Zo vormen de complexe getallen een uitbreiding van de reële getallen door daaraan als nieuw element de imaginaire eenheid toe te voegen. In heeft de vergelijking geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de imaginaire eenheid , die is gedefinieerd als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld van de complexe getallen. Een gevolg van de hoofdstelling van de algebra is dat alle oplossingen van een algebraïsche vergelijking in liggen.

UitbreidingsgraadBewerken

De uitbreidingsgraad van de uitbreiding   is de dimensie van   als vectorruimte over  . Deze uitbreidingsgraad wordt genoteerd met  . Zo is bijvoorbeeld  , want   is een basis van   over  .

Het principe van de uitbreidingen kan naar ringuitbreidingen worden uitgebreid, op te vatten als een ring en een van haar deelringen.

Normale uitbreidingBewerken

Een algebraïsche uitbreiding   heet normaal, als elke irreducibele polynoom in   die een wortel heeft in  , geheel gefactoriseerd kan worden in lineaire factoren over  . Elke algebraïsche uitbreiding   heeft een normale afsluiting   die een lichaamsuitbreiding is van   zodat   normaal is en die de 'kleinste' is met deze eigenschap, wat inhoudt dat   deellichaam is van elke andere met deze eigenschap