Additieve identiteit

In een verzameling die is uitgerust met de operatie optelling, is de additieve identiteit het element dat, wanneer opgeteld bij een willekeurige element uit deze verzameling, ditzelfde element weer als resultaat geeft. Men spreekt ook van neutraal element van de optelling. Een van de bekendste additieve identiteiten is het getal 0 uit de elementaire wiskunde, maar additieve identiteiten komen ook voor in andere wiskundige structuren, zoals groepen en ringen, waarvoor de operatie van optelling is gedefinieerd.

Elementaire voorbeeldenBewerken

  • De additieve identiteit bekend uit de elementaire wiskunde is nul, aangeduid met 0. Bijvoorbeeld:
 
 

Formele definitieBewerken

Laat   een verzameling zijn die is gesloten onder de operatie van optelling, aangeduid met +. Een additieve identiteit voor   is dan elk element   waarvoor

 

voor elke   in  .

Verdere voorbeeldenBewerken

  • In een groep is de additieve identiteit het identiteitselement van de groep. Dit neutrale element wordt vaak aangeduid met 0, en is uniek (zie hieronder voor het bewijs).
  • Een ring of een lichaam/veld is een groep onder de operatie van optelling en heeft dus een unieke additieve identiteit 0. Deze is gedefinieerd als verschillend van de multiplicatieve identiteit 1, als de ring (of het lichaam/veld) meer dan één element heeft. Als de additieve identiteit en de multiplicatieve identiteit hetzelfde zijn, dan is de ring dus triviaal (wordt hieronder bewezen).
  • In de ring   van  -matrices over een ring   is de additieve identiteit de  -matrix   waarvan alle elementen gelijk zijn aan het nulelement 0 in  . Bij de  -matrices over de gehele getallen bijvoorbeeld is de additieve identiteit:
 
  • In de quaternionen, is 0 de additieve identiteit.
  • In de ring van functies van   naar  , de functie mapping elk getal naar 0 is de additieve identiteit.
  • In de additieve groep van vectoren in   is de oorsprong of nulvector een additieve identiteit.

BewijzenBewerken

In een groep is de additieve identiteit uniekBewerken

Laat   een groep zijn en zowel 0 als 0' in   additieve identiteiten aanduiden, zodat dus voor elke   in   geldt:

  en  

Dan is

 

De additieve en de multiplicatieve identiteiten zijn verschillend in een niet-triviale ringBewerken

Laat   een ring zijn en neem aan dat de additieve identiteit 0 en de multiplicatieve identiteit 1 gelijk zijn, dus 0 = 1. Voor een willekeurig element van   geldt dan:

 

wat bewijst dat   de triviale nulring is, dat wil zeggen  .

De additieve identiteit is een absorberend elementBewerken

In een structuur   met een gedefinieerde vermenigvuldigingsoperatie die distributitief is over de optelling, is de additieve identiteit een multiplicatief absorberend element. Voor elke willekeurige   geldt namelijk:

 

dus:

 


ReferentiesBewerken

  • (en) David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.