Additieve identiteit
In een verzameling die is uitgerust met de operatie optelling, is de additieve identiteit het element dat, wanneer opgeteld bij een willekeurige element uit deze verzameling, ditzelfde element weer als resultaat geeft. Men spreekt ook van neutraal element van de optelling. Een van de bekendste additieve identiteiten is het getal 0 uit de elementaire wiskunde, maar additieve identiteiten komen ook voor in andere wiskundige structuren, zoals groepen en ringen, waarvoor de operatie van optelling is gedefinieerd.
Elementaire voorbeeldenBewerken
- De additieve identiteit bekend uit de elementaire wiskunde is nul, aangeduid met 0. Bijvoorbeeld:
- In de natuurlijke getallen en al zijn supersets (de gehele getallenl , de rationele getallen , de reële getallen , of de complexe getallen ), is 0 de additieve identiteit. Voor alle getallen geldt:
Formele definitieBewerken
Laat een verzameling zijn die is gesloten onder de operatie van optelling, aangeduid met +. Een additieve identiteit voor is dan elk element waarvoor
voor elke in .
Verdere voorbeeldenBewerken
- In een groep is de additieve identiteit het identiteitselement van de groep. Dit neutrale element wordt vaak aangeduid met 0, en is uniek (zie hieronder voor het bewijs).
- Een ring of een lichaam/veld is een groep onder de operatie van optelling en heeft dus een unieke additieve identiteit 0. Deze is gedefinieerd als verschillend van de multiplicatieve identiteit 1, als de ring (of het lichaam/veld) meer dan één element heeft. Als de additieve identiteit en de multiplicatieve identiteit hetzelfde zijn, dan is de ring dus triviaal (wordt hieronder bewezen).
- In de ring van -matrices over een ring is de additieve identiteit de -matrix waarvan alle elementen gelijk zijn aan het nulelement 0 in . Bij de -matrices over de gehele getallen bijvoorbeeld is de additieve identiteit:
BewijzenBewerken
In een groep is de additieve identiteit uniekBewerken
Laat een groep zijn en zowel 0 als 0' in additieve identiteiten aanduiden, zodat dus voor elke in geldt:
- en
Dan is
De additieve en de multiplicatieve identiteiten zijn verschillend in een niet-triviale ringBewerken
Laat een ring zijn en neem aan dat de additieve identiteit 0 en de multiplicatieve identiteit 1 gelijk zijn, dus 0 = 1. Voor een willekeurig element van geldt dan:
wat bewijst dat de triviale nulring is, dat wil zeggen .
De additieve identiteit is een absorberend elementBewerken
In een structuur met een gedefinieerde vermenigvuldigingsoperatie die distributitief is over de optelling, is de additieve identiteit een multiplicatief absorberend element. Voor elke willekeurige geldt namelijk:
dus:
ReferentiesBewerken
- (en) David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.