Additieve identiteit

In een verzameling die is uitgerust met de operatie optelling, is de additieve identiteit het element dat, wanneer opgeteld bij een willekeurige element $x$ uit deze verzameling, ditzelfde element $x$ weer als resultaat geeft. Men spreekt ook van neutraal element van de optelling. Een van de bekendste additieve identiteiten is het getal 0 uit de elementaire wiskunde, maar additieve identiteiten komen ook voor in andere wiskundige structuren, zoals groepen en ringen, waarvoor de operatie van optelling is gedefinieerd.

Elementaire voorbeeldenBewerken

De additieve identiteit bekend uit de elementaire wiskunde is nul, aangeduid met 0. Bijvoorbeeld:

5+0=5=0+5

In de natuurlijke getallen $\mathbb {N}$ en al zijn supersets (de gehele getallenl $\mathbb {Z}$ , de rationele getallen $\mathbb {Q}$ , de reële getallen $\mathbb {R}$ , of de complexe getallen $\mathbb {C}$ ), is 0 de additieve identiteit. Voor alle getallen $n$ geldt:

n+0=n=0+n

Formele definitieBewerken

Laat $N$ een verzameling zijn die is gesloten onder de operatie van optelling, aangeduid met +. Een additieve identiteit voor $N$ is dan elk element $e$ waarvoor

e+n=n=n+e

voor elke $n$ in $N$ .

Verdere voorbeeldenBewerken

In een groep is de additieve identiteit het identiteitselement van de groep. Dit neutrale element wordt vaak aangeduid met 0, en is uniek (zie hieronder voor het bewijs).
Een ring of een lichaam/veld is een groep onder de operatie van optelling en heeft dus een unieke additieve identiteit 0. Deze is gedefinieerd als verschillend van de multiplicatieve identiteit 1, als de ring (of het lichaam/veld) meer dan één element heeft. Als de additieve identiteit en de multiplicatieve identiteit hetzelfde zijn, dan is de ring dus triviaal (wordt hieronder bewezen).
In de ring $M$ van $n\times n$ -matrices over een ring $R$ is de additieve identiteit de $n\times n$ -matrix $\mathbf {0}$ waarvan alle elementen gelijk zijn aan het nulelement 0 in $R$ . Bij de $2\times 2$ -matrices over de gehele getallen bijvoorbeeld is de additieve identiteit:

0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

In de quaternionen, is 0 de additieve identiteit.
In de ring van functies van $\mathbb {R}$ naar $\mathbb {R}$ , de functie mapping elk getal naar 0 is de additieve identiteit.
In de additieve groep van vectoren in $\mathbb {R} ^{n}$ is de oorsprong of nulvector een additieve identiteit.

BewijzenBewerken

In een groep is de additieve identiteit uniekBewerken

Laat $(G,+)$ een groep zijn en zowel 0 als 0' in $G$ additieve identiteiten aanduiden, zodat dus voor elke $g$ in $G$ geldt:

0+g=g=g+0

en

0'+g=g=g+0'

Dan is

0'=0'+0=0

De additieve en de multiplicatieve identiteiten zijn verschillend in een niet-triviale ringBewerken

Laat $R$ een ring zijn en neem aan dat de additieve identiteit 0 en de multiplicatieve identiteit 1 gelijk zijn, dus 0 = 1. Voor een willekeurig element van $R$ geldt dan:

r=r\times 1=r\times 0=0

wat bewijst dat $R$ de triviale nulring is, dat wil zeggen $R=\{0\}$ .

De additieve identiteit is een absorberend elementBewerken

In een structuur $S$ met een gedefinieerde vermenigvuldigingsoperatie die distributitief is over de optelling, is de additieve identiteit een multiplicatief absorberend element. Voor elke willekeurige $s\in S$ geldt namelijk:

s\cdot 0=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0

dus:

s\cdot 0=0

ReferentiesBewerken

(en) David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.