Hoofdmenu openen

Een lineaire deelruimte is in de lineaire algebra een deelverzameling van een vectorruimte die, bij dezelfde optelling en scalaire vermenigvuldiging als in die ruimte zelf, ook een vectorruimte is.

De deelverzameling van een vectorruimte is een lineaire deelruimte van als de optelling en scalaire vermenigvuldiging van inwendig zijn in Dit wordt verwoord in de volgende stelling.

StellingBewerken

Zij   een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be)   met optelling " " en scalaire vermenigvuldiging " ". Een deelverzameling   van   is een lineaire deelruimte van  , als   niet leeg is en voor alle   en   geldt dat   en   (anders gezegd:   en  ).

BewijsBewerken

Het is duidelijk dat de voorwaarden noodzakelijk zijn. Vrijwel alle eisen voor een vectorruimte volgen triviaal uit de voorwaarden omdat   een vectorruimte is; voor ieder element van   is de scalaire vermenigvuldiging met −1 de inverse en is de vermenigvuldiging met 0 het neutrale element.

GevolgBewerken

Een deelruimte kan dus nooit leeg zijn, want hij bevat op zijn minst het neutrale element 0, waarvoor geldt dat  . Dit neutrale element 0 is ook uniek.

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1

Beschouw   de vectorruimte van alle polynomen (ook geschreven als   of  ) en   de verzameling polynomen waarbij alle termen even machten hebben ( ) beide met de triviale optelling en scalaire vermenigvuldiging. Dan is   een deelverzameling van  , want de som van twee veeltermen met enkel termen met even machten is opnieuw een element van  . Hetzelfde geldt voor de scalaire vermenigvuldiging.

Voorbeeld 2

Zij   de vectorruimte van aftelbaar oneindige rijen reële getallen ( ). Dan geldt dat de verzameling   van alle vectoren in   met slechts eindig veel elementen ongelijk aan 0, een echte lineaire deelruimte is van