Wortel (wiskunde)

dubbelzinnige term in de wiskunde

In de wiskunde wordt met de wortel zowel de wortel van een getal als van een vergelijking aangeduid.

Wortel uit een getalBewerken

VierkantswortelBewerken

De vierkantswortel, kort wortel, uit een positief getal   is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal  . Het symbool hiervoor is √. Het proces om een wortel te berekenen heet worteltrekken. Het is dus een rekenkundige bewerking van een getal.

  is te vereenvoudigen tot  . Wortel 2, genoteerd als  , wortel 3 als   en wortel 5 als   zijn niet verder te vereenvoudigen. Het is te bewijzen, dat wortel 2 geen rationaal getal is, dus niet als breuk is te schrijven.

Hogere-machtswortelsBewerken

Er zijn ook wortels van een hogere macht uit een getal gedefinieerd. Een  -de-machtswortel uit een getal   is een getal   zo, dat

 

Voor de derdemachtswortel   uit een getal  , is bijvoorbeeld  .

Als   even is spreekt men van een evenmachtswortel, is   oneven dan spreekt men van een onevenmachtswortel. Positieve reële getallen hebben twee tegengestelde evenmachtswortels en juist één positieve onevenmachtswortel. Negatieve reële getallen hebben geen (reële) evenmachtswortel en juist één onevenmachtswortel, die negatief is. Men kan ook volgende notatie gebruiken voor de positieve  -de-machtswortel van een positief getal   of voor de onevenmachtswortel van een negatief getal  :

 .

Dan is

 .

VoorbeeldenBewerken

De positieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is 5, want 5 > 0 en 52 = 25, dit wordt genoteerd als  .

De negatieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is −5, want −5 < 0 en (−5)2 = 25, dit wordt genoteerd als  .

De positieve 4e-machtswortel van 16 is 2, want 2 > 0 en 24 = 16. Dit wordt genoteerd als  .

De 3e-machtswortel van −8 is −2, want (−2)3 = −8. Dit wordt genoteerd als  .

Breuken als exponentBewerken

Wortelvormen kunnen genoteerd worden door middel van gebroken exponenten op voorwaarde dat het grondtal   positief is.

 

en algemener ( ):

 

Dan geldt:

 
 
 

EigenschapBewerken

Voor alle  -de-machtswortels geldt:

 

Immers:

 

Wortel van een vergelijkingBewerken

Een wortel van een vergelijking, waarin een functie gelijk aan 0 wordt gesteld, is hetzelfde als een nulpunt van die functie. Een wortel van een vergelijking is dus een waarde voor de onbekende, zodat de vergelijking een gelijkheid wordt. Het is dus een oplossing van de vergelijking.

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft een polynoom van de  -de graad   wortels in de complexe getallen. Zo heeft de vergelijking   de wortels +5 en −5. Wel kunnen sommige van die   wortels meervoudig zijn. Zo lijkt de vergelijking   slechts de wortels +1 en −1 te hebben, maar de vergelijking kan geschreven worden als  , waaruit blijkt dat de wortel −1 gezien kan worden als twee wortels met dezelfde waarde.

De wortels van de vergelijking   zijn   en  .

De wortels van een vierkantsvergelijking kunnen met de wortelformule worden bepaald of in duidelijker gevallen met de som-product-methode.

Wortelvrij maken van de noemer van een breukBewerken

Om wortelvormen weg te werken uit de noemer van een breuk, kunnen volgende formules nuttig zijn.

 
 
 
 
 
 

Complexe wortelsBewerken

 
de wortelknop op een rekenmachine

Met behulp van de opvatting van worteltrekken als machtsverheffen kunnen ook wortels uit complexe getallen gedefinieerd worden.

Algemeen geldt voor twee complexe getallen   en  :

 

Daarmee laat zich de  -de-machtswortel van   definiëren door:

 .

De wortel is op deze wijze dubbelzinnig bepaald. Er zijn in het algemeen    -de-machtswortels van de vorm:

  voor  .

Neemt men echter de hoofdwaarde van de logaritme, dan is de wortel niet dubbelzinnig bepaald.

Voor de zo eenduidig bepaalde complexe wortels geldt niet meer algemeen de eigenschap:

 

Het volgende tegenvoorbeeld laat dit zien:

 ,

terwijl

 

In het algemeen geldt voor complexe getallen   en   en de met de hoofdwaarde bepaalde wortel:

 .

Anderzijds is:

 .

Hierin stelt log de hoofdwaarde van de logaritme voor. Omdat niet noodzakelijk geldt dat  , is de genoemde eigenschap niet geldig voor willekeurige complexe getallen.

Op dezelfde manier kunnen ook wortels uit een quaternion   gedefinieerd worden. De verzameling van de  -de-machtswortels van   is:

 

waarbij   een willekeurig geheel getal voorstelt en   een willekeurige wortel van −1 is, dus zodanig dat  . Er hoeft dus niet langer te gelden dat  . Meer bepaald geldt nu:  .

Herkomst √-tekenBewerken

Leonhard Euler dacht dat het teken ontstaan was uit de r van radix, wortel. Later wees Duits onderzoek uit dat het wortelteken in Duitse handschriften rond 1500 is afgeleid uit een punt met een haal omhoog.[1] Het teken verscheen het eerst in druk voor een vierkantswortel in 1525 in Die Coss van de Duitse wiskundige Christoph Rudolff, waar ook de tekens '+' en '−' in druk opdoken.[2]