Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)

Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), galoislichaam, galoisruimte, of galoisveld (vernoemd naar Évariste Galois) is een lichaam /veld met een eindig aantal elementen. Dit aantal, de orde van het lichaam genoemd, kan alleen maar een macht van een priemgetal zijn. Omgekeerd is er voor ieder dergelijk aantal een eindig lichaam (op isomorfie na eenduidig).

Eindige lichamen/velden worden gebruikt in de cryptografie, coderingstheorie, galoistheorie, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Een eindig lichaam/veld van orde wordt vaak genoteerd als of , waarbij de letters G en F verwijzen naar de Engelse term Galois Field.

Galois heeft eindige lichamen in 1830 ingevoerd, maar pas door toedoen van de Amerikaanse wiskundige Eliakim Moore (1862-1932) zijn eindige lichamen geclassificeerd. Eindige lichamen zijn belangrijk geworden met de komst van digitale elektronica en computers en de ontwikkeling van de informatietheorie en discrete wiskunde.

LichaamBewerken

Net als elk lichaam is ook een eindig lichaam een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (delen door nul is niet gedefinieerd), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (dat wil zeggen dat het resultaat van de bewerking een element moet zijn in de eindige verzameling van elementen). Bovendien zijn optelling en vermenigvuldiging beide associatief en commutatief, en is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Als optellen of vermenigvuldigen wordt toegepast op de normale manier, is de verzameling ofwel niet gesloten en dus geen lichaam, of een oneindig groot lichaam, want met 1 zijn ook 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 etc. elementen van het lichaam. Om deze reden worden de normale operaties niet gebruikt, maar worden in eindige lichamen alle operaties modulo een priemgetal   uitgevoerd, dat de karakteristiek van het lichaam heet.

VoorbeeldBewerken

Als voorbeeld het priemlichaam  , met de elementen 0, 1 en 2.

 
 
 

dus ook

 

OrdeBewerken

De orde of kardinaliteit van een eindig lichaam is het aantal elementen van het lichaam. Omdat elk niet-nul element uit een lichaam een invers element voor de vermenigvuldiging moet hebben, bestaat er niet voor elke orde een eindig lichaam. De verzameling van niet-nul-elementen van een lichaam   wordt genoteerd als   en wordt de multiplicatieve groep van het lichaam genoemd.

VoorbeeldBewerken

In   geldt:

 
 
 
 

Er is dus in   geen element   waarvoor geldt dat  . Daarom is   zelfs geen lichaam.   is overigens wel een groep voor de optelling.

Het blijkt dat er alleen eindige lichamen bestaan met een orde die ofwel gelijk is aan een priemgetal, een zogenaamd priemlichaam, ofwel aan een macht van een priemgetal, een zogenaamde lichaamsuitbreiding (Ned) / velduitbreiding (Be). Het priemgetal   wordt de karakteristiek genoemd en de macht   de uitbreidingsgraad van  .

Er bestaat dus bijvoorbeeld wel een eindig lichaam met vier elementen, namelijk het lichaam  . Hierin hebben de drie niet-nul elementen een multiplicatieve inverse.

PriemlichaamBewerken

Een priemlichaam[1] is een lichaam dat geen van zichzelf verschillende deellichamen bevat. Af te leiden is dat voor een eindig lichaam dat tevens een priemlichaam is, geldt dat het aantal elementen een priemgetal is. Voor ieder priemgetal   geldt dat  , de natuurlijke getallen   met optellen en vermenigvuldigen modulo  , een voorbeeld is van een priemlichaam met   elementen.

LichaamsuitbreidingBewerken

Een lichaams- of velduitbreiding (ook -extensie) van een eindig lichaam   is een eindig lichaam   met  . Het voorbeeld hierboven laat zien dat   geen lichaam is, maar   wel. Een lichaam met 4 elementen moet kennelijk op een andere manier worden geconstrueerd als uitbreidingslichaam van  . Lichaamsuitbreidingen kunnen gezien worden als een  -dimensionale algebra over het lichaam  . Een element   in een lichaamsuitbreiding   kan uniek worden geschreven als een lineaire combinatie   van machten   van  , een wortel van een irreducibele polynoom   van graad   over het lichaam  ; de coëfficiënten   zijn elementen van  .

Optellen en aftrekken in een lichaamsuitbreiding is gewoonweg modulo rekenen in meerdere dimensies, maar vermenigvuldigen en delen is niet op deze manier te definiëren. Daarvoor wordt de irreducibele polynoom   gebruikt: de twee te vermenigvuldigen elementen van   (lineaire combinaties) worden op de normale manier met elkaar vermenigvuldigd en in het resultaat wordt   vervangen door een lineaire combinatie van lagere machten van  , gegeven door de reducerende vergelijking  .

In een eindig lichaam kunnen alle multiplicatieve inversen gevonden worden door eenmalig een complete vermenigvuldigingstabel op te stellen en bij een element   het element   te zoeken waarvoor geldt:

 

Primitief elementBewerken

Elk eindig lichaam heeft ten minste één element   waarvoor geldt   en   voor  . Zo'n   wordt een primitief element genoemd. Een primitief element is voortbrenger van de multiplicatieve groep van het lichaam, die dus bestaat uit de machten van het primitieve element.

VoorbeeldBewerken

Een voorbeeld van een eindig lichaam is het galoislichaam   dat 16 elementen heeft. Om dit lichaam te construeren moet als eerste worden gezocht naar een irreducibele polynoom   over   met graad 4. Een van de wortels van deze polynoom krijgt de naam  . Ieder element van   kan nu worden voorgesteld als een derdegraadspolynoom in   over  . Het is duidelijk dat er 16 dergelijke polynomen bestaan. De optelling is nu identiek aan de optelling in een 4-dimensionale lineaire vectorruimte over  . De vermenigvuldiging is gedefinieerd als de vermenigvuldiging voor polynomen.

Voor het vinden van een irreducibel vierdegraadspolynoom over   is het handig te weten welke de irreducibele polynomen van lagere graad zijn. De situatie is vergelijkbaar met het zoeken naar priemgetallen. De irreducibele polynomen van lagere graad zijn:

  • graad 1:   en  
  • graad 2:   (de overige tweedegraadspolynomen zijn deelbaar door  , door  , of door beide.
  • graad 3:   en  

Nu kan een irreducibel polynoom van de graad 4 worden gezocht. Een polynoom die niet deelbaar is door bovengenoemde polynomen (en dus irreducibel is) is:  . De vermenigvuldiging van twee elementen uit  , voor te stellen door   en  , is dus nu gedefinieerd door deze twee polynomen in   met elkaar te vermenigvuldigen (over  ), en het resultaat te reduceren tot een derdegraadspolynoom (of lageregraads) in  , gebruik makend van de identiteit  .

Zie ookBewerken

Externe linkBewerken

ReferentiesBewerken

  1. Primkörper, Duitstalige wikipedia