Hoofdmenu openen

Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)

Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), Galoislichaam, Galoisruimte, of Galoisveld (vernoemd naar Évariste Galois) is een lichaam /veld met een eindig aantal elementen. Dit aantal, de orde van het lichaam genoemd, kan alleen maar een macht van een priemgetal zijn. Omgekeerd is er voor ieder dergelijk aantal een eindig lichaam (op isomorfie na eenduidig).

Eindige lichamen/velden worden gebruikt in de cryptografie, coderingstheorie, Galoistheorie, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Een eindig lichaam/veld van orde q wordt vaak genoteerd als of , waarbij de laatste vorm refereert aan de Engelse term Galois Field.

Galois heeft eindige lichamen in 1830 ingevoerd, maar pas door toedoen van de Amerikaanse wiskundige Eliakim Moore (1862-1932) zijn eindige lichamen geclassificeerd. Eindige lichamen zijn belangrijk geworden met de komst van digitale elektronica en computers en de ontwikkeling van de informatietheorie en discrete wiskunde.

LichaamBewerken

Net als elk lichaam is ook een eindig lichaam een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (delen door nul is niet gedefinieerd), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (dat wil zeggen dat het resultaat van de bewerking een element moet zijn in de eindige verzameling van elementen). Bovendien zijn optelling en vermenigvuldiging beide associatief en commutatief, en is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Als optellen of vermenigvuldigen wordt toegepast op de normale manier, is de verzameling ofwel niet gesloten en dus geen lichaam, of een oneindig groot lichaam, want met 1 zijn ook 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 etc. elementen van het lichaam. Om deze reden worden de normale operaties niet gebruikt, maar worden in eindige lichamen alle operaties modulo een priemgetal   uitgevoerd, dat de karakteristiek van het lichaam heet.

VoorbeeldBewerken

Als voorbeeld het priemlichaam  , met de elementen 0, 1 en 2.

 
 
 

dus ook

 

OrdeBewerken

De orde of kardinaliteit van een eindig lichaam is het aantal elementen van het lichaam. Omdat elk niet-nul element uit een lichaam een invers element voor de vermenigvuldiging moet hebben, bestaat er niet voor elke orde een eindig lichaam. De verzameling van niet-nul-elementen van een lichaam   wordt genoteerd als   en wordt de multiplicatieve groep van het lichaam genoemd.

VoorbeeldBewerken

In   (q = 4) zoeken we de inverse van het element 2.

 
 
 
 

We zien dat er in   geen element a is waarvoor geldt dat : ; daarom is   zelfs geen lichaam.   is overigens wel een groep voor de optelling.

Het blijkt dat er alleen eindige lichamen bestaan met een orde die ofwel gelijk is aan een priemgetal, een zogenaamd priemlichaam, ofwel aan een macht van een priemgetal, een zogenaamd uitbreidingslichaam. Het priemgetal p wordt wel de karakteristiek genoemd en de macht m de uitbreidingsgraad van  .

Er bestaat dus bijvoorbeeld wel een eindig lichaam met vier elementen; dit is het lichaam  . Hierin hebben de drie niet-nul elementen een multiplicatieve inverse.

PriemlichaamBewerken

Een priemlichaam[1] is een lichaam dat geen van zichzelf verschillende deellichamen bevat. Af te leiden is dat voor een eindig lichaam dat tevens een priemlichaam is, geldt dat het aantal elementen een priemgetal is. Voor ieder priemgetal p geldt dat  , de natuurlijke getallen   met optellen en vermenigvuldigen modulo p, een voorbeeld is van een priemlichaam met p elementen.

UitbreidingslichaamBewerken

Een uitbreidingslichaam of extensielichaam is een eindig lichaam   waarvoor m ≠ 1. Het voorbeeld hierboven laat zien dat   niet een lichaam is, maar  . Een lichaam met 4 elementen moet kennelijk op een andere manier worden geconstrueerd als uitbreidingslichaam van  . Uitbreidingslichamen kunnen gezien worden als een  -dimensionale vectorruimte over het lichaam  . Een element   van een uitbreidingslichaam kan uniek worden geschreven als  . Hierin is   de wortel van een irreducibele  -de graadspolynoom a(x) over het lichaam  ; de coëfficiënten   zijn elementen van  .

Optellen en aftrekken in een uitbreidingslichaam is gewoonweg modulo rekenen in meerdere dimensies, maar vermenigvuldigen en delen is niet op deze manier te definiëren; hiervoor wordt de irreducibele polynoom a(x) gebruikt dat analoog wordt toegepast als de p bij het modulorekenen in het eendimensionale geval: de twee te vermenigvuldigen polynomen (elementen van  ) worden op de normale manier met elkaar vermenigvuldigd maar het resultaat wordt modulo de polynoom   genomen.

In en eindig lichaam kunnen alle multiplicatieve inversen gevonden worden door eenmalig een complete vermenigvuldigingstabel op te stellen en bij een element   het element   te zoeken waarvoor geldt:  

De polynoom   heet ook wel de reductiepolynoom.

Primitief elementBewerken

Elk eindig lichaam heeft ten minste één element α waarvoor geldt   en   voor  . Zo'n α wordt een primitief element genoemd. Een primitief element is voortbrenger van de multiplicatieve groep van het lichaam, die dus bestaat uit de machten van het primitieve element.

VoorbeeldBewerken

Een voorbeeld van een eindig lichaam is   dat 16 elementen heeft. Om dit lichaam te construeren moet als eerste worden gezocht naar een irreducibel polynoom   over   met graad 4. Een van de wortels van deze polynoom krijgt de naam  . Ieder element van   kan nu worden voorgesteld als een derdegraadspolynoom in   over  . Het is duidelijk dat er 16 dergelijke polynomen bestaan. De optelling is nu identiek aan de optelling in een 4-dimensionale lineaire vectorruimte over  . De vermenigvuldiging is gedefinieerd als de vermenigvuldiging voor polynomen.

Voor het vinden van een irreducibel vierdegraadspolynoom over   is het handig te weten welke de irreducibele polynomen van lagere graad zijn. De situatie is vergelijkbaar met het zoeken naar priemgetallen. De irreducibele polynomen van lagere graad zijn:

  • graad 1:   en  
  • graad 2:   (de overige tweedegraadspolynomen zijn deelbaar door  , door  , of door beide.
  • graad 3:   en  

Nu kan een irreducibel polynoom van de graad 4 worden gezocht. Een polynoom die niet deelbaar is door bovengenoemde polynomen (en dus irreducibel is) is:  . De vermenigvuldiging van twee elementen uit  , voor te stellen door   en  , is dus nu gedefinieerd door deze twee polynomen in   met elkaar te vermenigvuldigen (over  ), en het resultaat te reduceren tot een derdegraadspolynoom (of lageregraads) in  , gebruik makend van de identiteit  .

Externe linkBewerken

ReferentiesBewerken

  1. Primkörper, Duitstalige wikipedia