Meervoudig nulpunt van een polynoom

Samenvoegen   Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met polynoom, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt  (hier melden).

Als het getal a een nulpunt is van de polynoom f in x, dan is f deelbaar door de factor x - a. Is f deelbaar door meerdere factoren x - a, dan heet a een meervoudig nulpunt van de polynoom. Het aantal keren k dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a en a wordt een k-voudig nulpunt van f genoemd. Voor zo'n nulpunt a is er een polynoom g waarvoor geldt:

en

.

Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een k-voudig nulpunt als k nulpunten worden meegeteld, nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.

VoorbeeldBewerken

 
Een polynoom, met een enkelvoudig nulpunt voor x = −4 en een tweevoudig nulpunt voor x = 1

Zij gegeven het polynoom met domein   (zie de figuur rechts):

 .

De som van de coëfficiënten  , dus er geldt:

 ,

We kunnen nu f herschrijven als

 .

Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:

 .

Het polynoom   kan vervolgens worden ontbonden met de som-product-methode in  , zodat:

 .

Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en −4 een enkelvoudig nulpunt. Het polynoom f heeft drie nulpunten.

Hoofdstelling van de algebraBewerken

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad n van ten minste 1, precies n nulpunten in het complexe vlak   heeft, wanneer ieder nulpunt met k als multipliciteit k keer wordt geteld.