Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Een reëel getal, of algemener een complex getal, noemt men transcendent als niet het nulpunt is van een polynoom van eindige graad met geheeltallige of algemener rationale coëfficiënten . Voor al dergelijke polynomen geldt dus:

Een getal dat wel het nulpunt van een polynoom is, heet een algebraïsch getal. Een transcendent getal is een getal dat niet algebraïsch is.

Ieder transcendent getal is irrationaal, want een rationaal getal is een oplossing van een lineaire vergelijking met geheeltallige coëfficiënten, dus algebraïsch.

Een transcendent getal kan op de getallenlijn of in het complexe vlak niet door een constructie met passer en liniaal worden aangegeven.

Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen en maar aftelbaar veel algebraïsche getallen. Een transcendent getal is, zoals opgemerkt, een irrationaal getal, maar niet ieder irrationaal getal is transcendent. Bijvoorbeeld is irrationaal en algebraïsch.

GeschiedenisBewerken

Het staat statistisch vast dat in een transcendent getal alle denkbare combinaties van cijfers voorkomen. Men zegt wel dat een aap die willekeurig op een schrijfmachine tikt, op een zeker moment "de vis wordt duur betaald" zal typen en ook de volledige tekst van Op hoop van zegen, als men hem maar lang genoeg laat tikken. Bijvoorbeeld:

Het transcendente getal pi, met steeds twee cijfers gegroepeerd: 31 41 59 26 53 58 97 93 23 84 62 64 33 83 27 95 2 88 41 97 16 93 99 37 51
Modulo 26: 5 15 7 0 1 6 19 15 23 6 10 12 7 5 1 17 2 10 15 19 16 15 21 11 25
Omgezet naar letter: E O G Z A F S O W F J L G E A Q B J O S P O U K Y

Het resultaat EOGZAFSOWFJLGEAQBJOSPOUKY ziet er niet zinvol uit, maar ergens in de oneindige reeks zal men herkenbare woorden, herkenbare zinnen en zelfs het volledige oeuvre van Heijermans aantreffen. Het heeft echter geen zin te proberen of het echt zo is, want het zal waarschijnlijk veel langer duren dan de leeftijd van het heelal.

VoorbeeldenBewerken

Getallen, waarvan bekend is dat zij transcendent zijn:

  •   als   algebraïsch en ongelijk aan nul is, door de stelling van Lindemann-Weierstrass en, in het bijzonder,   zelf,
  •  , door de stelling van Lindemann-Weierstrass,
  •  , de constante van Gelfond, alsmede  , volgens de stelling van Gelfond-Schneider,
  •   waarin   algebraïsch, maar ongelijk aan 0 of 1, en   irrationaal algebraïsch is, volgens de stelling van Gelfond-Schneider; in het bijzonder:
    •  , de constante van Gelfond-Schneider, ook het hilbertgetal.

Open problemenBewerken

Van enkele reële getallen is nog niet bekend of ze transcendent of algebraïsch zijn, zoals van de constante van Euler-Mascheroni.