Parabool (wiskunde)

vlakke tweedegraadskromme in de wiskunde

Een parabool, van het Grieks παραβολή, vergelijking, grondbetekenis een worp erlangs, naast-worp (vergelijk par-allêlos = naast elkaar, langs elkaar), is een vlakke tweedegraadskromme die de meetkundige plaats is van punten met dezelfde afstand tot een gegeven lijn, de richtlijn, en een gegeven punt, het brandpunt. De wiskundige vergelijking die een parabool beschrijft, is van de tweede graad. Een parabool kan ook beschouwd worden als een kegelsnede waarvan het snijvlak evenwijdig is met een beschrijvende van de kegel.

Een parabool met vergelijking y = x²

De eenvoudigste vergelijking van een parabool is . Het brandpunt van deze parabool is het punt en de richtlijn is de lijn .

GeschiedenisBewerken

 
Paraboolpasser ontworpen door Leonardo da Vinci

Het vroegst bekende werk over kegelsneden is van Menaechmus in de vierde eeuw v.Chr. Hij ontdekte een manier om het probleem van de verdubbeling van de kubus met behulp van parabolen op te lossen. De oplossing voldoet daardoor niet aan de eisen voor constructie met passer en liniaal. De oppervlakte omsloten door een parabool en een lijnsegment, het zogenaamde paraboolsegment, werd in de derde eeuw v.Chr. berekend door Archimedes met de uitputtingsmethode in zijn werk De kwadratuur van de parabool. De naam parabool is afkomstig van Apollonius, die vele eigenschappen van kegelsneden ontdekte. Het was Pappos van Alexandrië die de eigenschap van de parabool met brandpunt en richtlijn ontdekte.

Wiskundige definitieBewerken

In het platte vlakBewerken

 
parabool in het platte vlak
 
De parabool als kegelsnede
 
De parabool is de doorsnede van een kegel en een plat vlak, een kegelsnede.

Een parabool is de meetkundige plaats van punten die dezelfde afstand   hebben tot een gegeven lijn  , de richtlijn, en een gegeven punt  , het brandpunt. De parabool is de conflictlijn tussen de richtlijn en het brandpunt.

De parabool wordt beschreven door een kwadratische vergelijking. Voor een parabool met horizontale richtlijn   (waarbij   een constante is) en brandpunt  , die beschreven wordt door de functie   kan dit als volgt ingezien worden. Er geldt dat de afstand van het punt   tot het brandpunt gelijk is aan

 

en de afstand tot de richtlijn

 .

Deze afstanden zijn gelijk, dus

 ,

waaruit volgt:

 

Opmerking. Voor het getal   wordt in de wiskundige literatuur vaak   geschreven. Het getal   is dan de zogeheten parameter van de parabool.

In de driedimensionale ruimteBewerken

De parabool is de doorsnede van een vlak met een kegel, preciezer met een rechte cirkelkegel, vandaar dat de parabool een kegelsnede wordt genoemd, zie de figuren. Nemen we de 'snede' voor een moment zintuigelijk, dan zien we in vergelijking met de cirkel en de ellips als doorsnede, dat het snijden van de parabool wel ergens begint, maar niet klaar is aan een ‘andere kant’ van de kegel. Het snijden gaat eindeloos door, evenwijdig aan een van de beschrijvende lijnen van het kegelvlak.

Cartesiaanse vergelijkingBewerken

De grafiek van een tweedegraadsfunctie, die de volgende algemene vergelijking heeft:

 

is een parabool.

Als  , spreken we van een dalparabool, de bolle kant wijst naar beneden. Als  , hebben we te maken met een bergparabool, de bolle kant wijst naar boven. De nulpunten van deze parabool worden gegeven door de wortelformule van de vierkantsvergelijking

 .

De functie kan ook geschreven worden als:

 

waarbij

 
 

De symmetrieas van de parabool is de lijn:  

Het minimum of maximum van de parabool is het punt  

Door verschuiven van de assen verkrijgt men de standaardvorm:

 

Vergelijking in poolcoördinatenBewerken

Een parabool met de oorsprong als brandpunt en een negatieve  -coördinaat van de top, wordt in de poolcoördinaten   en   beschreven door de vergelijking:

 

Hierin is   de afstand van het brandpunt tot een van de twee punten van de parabool op de  -as.

TopBewerken

 
Een schuin naar boven gerichte waterstraal uit een fontein vormt onder invloed van de zwaartekracht een parabool van water.

De coördinaten van de top van een parabool met vergelijking   zijn

 

Als  , bij een dalparabool, dan is dit een minimum; als  , bij een bergparabool, is het een maximum.

Brandpunt en richtlijnBewerken

Het brandpunt   van een parabool met vergelijking   heeft als coördinaten:

 

De bijbehorende richtlijn   heeft als vergelijking

 

ParaboloïdeBewerken

De driedimensionale figuur die ontstaat wanneer een parabool rond zijn as wordt gewenteld, heet een paraboloïde.

ToepassingenBewerken

 
Het deeltje volgt een parabolische baan
  • Een kogelbaan is een parabolische baan, op voorwaarde dat de kromming van de aarde, de draaiing van de aarde en de wrijving van de lucht te verwaarlozen zijn. De maximale hoogte en afstand hangen af van de lanceerhoek, ook wel elevatie genoemd, in de figuur  . De schietafstand is in dit theoretische geval maximaal wanneer   gelijk is aan 45°, aangenomen dat de lanceersnelheid   qua grootte niet zou afhangen van deze hoek  .
  • Bijvoorbeeld de baan van een satelliet langs de zon, waarvan de snelheid zo groot is dat die niet weer in het zwaartekrachtveld van de zon terugkeert, is een parabolische baan.
  • Voor een willekeurige parabool wordt de zogeheten paraboolconstante   als volgt gedefinieerd:
 
Hierin is   de booglengte van het paraboolsegment dat bepaald wordt door het latus rectum (de symmetrische koorde door het brandpunt), en   de parameter van de parabool.
  kan worden gebruikt bij het berekenen van enkele bijzondere integralen.[1]

Zie ookBewerken

NootBewerken

  1. S. Reese, J. Sondow: (en) Universal Parabolic Constant. From MathWorld -- A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
Zie de categorie Parabolas van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.