Hoofdmenu openen

De laplacetransformatie, genoemd naar Pierre-Simon Laplace, is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van lineaire integraal- en differentiaalvergelijkingen. In de elektrotechniek en regeltechniek is de laplacetransformatie een zeer nuttig gereedschap bij het doorrekenen van in- en uitschakelverschijnselen, oftewel niet-stationaire verschijnselen. De laplacetransformatie is een belangrijk voorbeeld van een integraaltransformatie.

Inhoud

DefinitieBewerken

Stel f(t) is een functie van t, gedefinieerd voor t ≥ 0. Onder de laplacegetransformeerde van f verstaan we de functie F, gedefinieerd voor complexe s door:

 .

Omdat f in veel toepassingen een functie van de tijd is, wordt f wel de tijdfunctie genoemd. De laplacegetransformeerde F heet wel de beeldfunctie.

NotatieBewerken

Voor de eenvoud van notatie schrijven we hier en in het vervolg soms:

  in plaats van  

om duidelijk te kunnen aangeven welke functie f bedoeld wordt.

Causale functiesBewerken

De integratie wordt soms ook gerekend vanaf   in plaats van 0. Er wordt dan stilzwijgend aangenomen dat f(t) = 0 voor t < 0 (f is causaal). Men noemt een functie   causaal als geldt dat   voor  .   kan dan worden opgevat als een tijdsafhankelijke respons op een excitatie-functie die ook gelijk is aan nul voor  .

Een willekeurige functie   kan men causaal maken met behulp van de heaviside-functie   door:

 

ConvergentieBewerken

De laplacegetransformeerde is niet altijd convergent (en dus gedefinieerd): de laplacegetransformeerde van f(t) bestaat voor een bepaalde waarde van het complexe getal s als bovenstaande integraal convergeert voor deze waarde. Als de integraal convergeert voor een reëel getal σ, convergeert hij voor alle complexe getallen s met  . Het kleinste reële getal σ zodat de integraal convergeert voor alle s met   (indien dit bestaat) heet de convergentieabscis.

Voldoende voorwaarden voor convergentieBewerken

  • f(t) is stuksgewijs continu op elk interval t1 < t < t2, met t1 > 0
  • f(t) is van exponentiële orde voor alle t > tn

InverseBewerken

De inverse laplacetransformatie kan via een complexe integraal gevonden worden.

Vaak echter wordt de laplacegetransformeerde geschreven als een lineaire combinatie van laplacegetransformeerden van bekende functies. De oorspronkelijke functie is dan dezelfde lineaire combinatie van de betrokken bekende functies.

Als de laplacegetransformeerde een rationele functie is, kan deze de breuk door breuksplitsen geschreven worden als een som van bekende laplacegetransformeerden. Het eenvoudigste geval is dat waarbij de noemer geen complexe of meervoudige nulpunten heeft. De getransformeerde kan dan geschreven worden als (we noteren de reële nulpunten van de noemer als α12):

 ,

zodat de gezochte inverse functie f(t) gevonden wordt als:

 

VoorbeeldBewerken

We weten dat de getransformeerde van een functie gelijk is aan  , de nulpunten van de noemer zijn verschillend en reëel, we splitsen in twee breuken:

 

zodat de originele functie is:

 , voor  

EigenschappenBewerken

De volgende eigenschappen kunnen aangetoond worden (na substituties, merk op dat hierbij de integratiegrenzen niet aangepast dienen te worden):

 
  • Verschuiving in het tijd-domein
 
  • Verschuiving in het laplace-domein
 
  • Schaling in het tijd-domein
 
  • Getransformeerde van de afgeleide
 
Indien f(t) niet continu is in t = 0, dan is
 
Indien f(t) niet continu is in t = a, dan is
 
Algemeen voor hogere afgeleiden
 
  • Getransformeerde van de primitieve
 
  • Getransformeerde van tnf(t)
 
  • Getransformeerde van f(t) / t
 
  • Periodieke functies (f(t) = f(t+T))
 
  • Beginwaardetheorema
 
  • Eindwaardetheorema
 
  • Gedrag voor s naar oneindig
 
 

Verband met andere transformatiesBewerken

met fouriertransformatieBewerken

De continue fouriertransformatie is equivalent met de tweezijdige laplace-integraal, indien we als argument   nemen:

 .

Met Z-transformatieBewerken

Laplacegetransformeerden van enkele functiesBewerken

 
 
  waarbij Γ staat voor de gammafunctie
  waarbij  
 
 
 
 
 
  waarbij γ staat voor de constante van Euler.

Laplacegetransformeerden van speciale functiesBewerken

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
met   de entierfunctie, dus het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan x.

Verband met differentiaalvergelijkingenBewerken

Nemen we de volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld (x is een bekende functie):

 ,

we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde nultoestand, of zero state):

 ,

waaruit volgt:

 

hierbij is H(s) de overdrachtsfunctie. Aangezien x een bekende functie is, is ook zijn laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van y, Y(s). We berekenen de inverse van Y(s), en vinden de gezochte oplossing y(t).

Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten via de laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld:

 

met als beginvoorwaarde:  .

De laplacetransformatie levert:

 

Door hieruit Y(s) af te zonderen, en vervolgens de inverse laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing y(t):

 

Zie ookBewerken