Irreducibel

doorverwijspagina

In de wiskunde heet een object irreducibel als het niet kan worden samengesteld uit eenvoudiger onderdelen. Dit is te vaag om als definitie te gelden, maar in de verschillende deelgebieden van de wiskunde bestaan precieze definities voor irreducibele objecten. Het gaat in dit artikel verder over irreducibele elementen van een commutatieve ring met een neutraal element voor de vermenigvuldiging. Irreducibel is in de algebra op die manier het meest gangbaar. Een ander soort irreducibiliteit treedt op in de representatietheorie.

Definitie bewerken

Zij   een commutatieve ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging. Een element   in   heet irreducibel, als het niet als het product van twee andere elementen kan worden geschreven, tenzij een van die twee elementen een eenheid, dat wil zeggen een inverteerbaar element is:

 .

Voorbeelden bewerken

  • De priemgetallen en hun tegengestelde, evenals de getallen 1 en -1, zijn in de ring   van de gehele getallen irreducibel.
  • Eenheden zijn volgens bovenstaande definitie altijd irreducibel. In sommige handboeken worden ze daarom uitdrukkelijk uitgesloten.
  • Tweedegraadspolynomen in een variabele met een discriminant die kleiner is dan 0 zijn volgens de wortelformule in de ring   van de reële polynomen irreducibel.
  • Het criterium van Eisenstein geeft voorwaarden voor een polynoom  , dat wanneer   daaraan voldoet,   irreducibel is.
  • In de ring   van de complexe polynomen in een variabele hebben alle polynomen van de graad groter dan nul volgens de hoofdstelling van de algebra een nulpunt in het complexe vlak. Dat betekent dat er geen polynomen in   zijn, waarvan de graad groter dan een is, die irreducibel zijn.