Hoofdmenu openen

In de wiskunde is de afgeleide of het differentiaalquotiënt een maat voor verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn variabelen. Voor een functie in één variabele is de afgeleide het limietgeval van de verhouding tussen de verandering in de functiewaarde en een kleine verandering in de variabele. Het begrip differentiaalquotiënt is historisch ontstaan, doordat de veranderingen het verschil, de differentie, zijn tussen een oorspronkelijke waarde en een kleine afwijking daarvan.

In een functie met één reële variabele wordt de afgeleide in een punt gegeven door de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in dat punt. Het woord "afgeleide" is hier in feite een afkorting van "afgeleide waarde". Het is een waarde die van de oorspronkelijke functie is afgeleid. Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren.

Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden.

Differentiëren is de omgekeerde bewerking van integreren.

NotatieBewerken

 
Animatie die een intuïtief idee geeft van de afgeleide

De afgeleide van een functie   met variabele   wordt genoteerd als  , spreek uit " -accent", of als  . De notatie   wordt ook gebruikt.   heet de eerste afgeleide van  .

Als  , schrijft men soms  ,   of  , of om verwarring te voorkomen  .

Hogere afgeleiden worden op dezelfde manier genoteerd. Zo wordt de tweede afgeleide geschreven als:

 ,

of ook wel als

 .

VoorbeeldBewerken

Een fietser rijdt langs een rechte weg. De weg die hij heeft afgelegd in de tijd   sinds hij begon te fietsen, is  . Hoe snel fietste hij op het tijdstip  ? Zijn snelheid wordt min of meer bepaald door de afstand die hij aflegde in de tijd   na het tijdstip   Deze afstand is:

 

Zijn gemiddelde snelheid in die periode was:

 

Hoe kleiner de periode   is, hoe meer de gemiddelde snelheid de snelheid   op het tijdstip   zal benaderen. Die snelheid is de limiet voor   naar 0 en heet de afgeleide van   naar  :

 

RaaklijnBewerken

 
Voor een functie met één reële variabele betekent dit meetkundig dat de afgeleide op een bepaald punt gelijk is aan de helling van de raaklijn aan de grafiek in dit punt.

Laat   een continue functie zijn. De raaklijn in het punt   aan de grafiek van   verkrijgt men door een koorde te beschouwen tussen de punten   en   en de afstand   steeds kleiner te nemen.

De helling van de koorde door de twee punten is

 

Als de limiet voor afnemende   bestaat, is deze limiet de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en wordt de afgeleide van   in het punt   genoemd.

DefinitieBewerken

De afgeleide van de functie   die differentieerbaar is in het punt   van het domein, is gedefinieerd als:

 

Als de functie in het hele domein differentieerbaar is, heet   de afgeleide functie, die ook genoteerd wordt als:

 

Een equivalente definitie, die eenvoudiger gegeneraliseerd kan worden naar functies van meer variabelen, is de volgende:

Als er een reëel getal   en een functie   bestaan, zodat voor alle   geldt

 

en bovendien  , dan is   de afgeleide van   in  .

Meer variabelenBewerken

Een functie   in meer variabelen kan naar ieder van de variabelen apart worden gedifferentieerd. Een partiële afgeleide van   is in dat geval een afgeleide van  , waarbij alleen naar één variabele de afgeleide is genomen en de anderen variabele als constanten zijn beschouwd. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige eenheidsvector.

Afgeleiden van elementaire functiesBewerken

  • De afgeleide van de constante functie   (constant) is:
 
  • De afgeleide van   is:
 
  • De afgeleide van   is:
 
 
  • De afgeleide van   voor natuurlijke  :
 
met
 ,
dus:
 
Voor   is de bovenstaande afleiding niet geldig voor  , omdat   niet gedefinieerd is. Bijgevolg geldt de bovenstaande formule voor de afgeleide van   voor  . De formule kan geldend gemaakt worden door de afspraak dat hier zal gelden dat 00 = 1.
  • De regel voor de afgeleide van   waarin  , kan uitgebreid worden naar   waarin   (een geheel getal verschillend van 0).
De afgeleide van   is:
 
  • De regel kan nog verder uitgebreid worden naar   waarin   (een rationaal getal verschillend van 0).
De afgeleide van   is:
 
  • De afgeleide van  
 
met
 ,
dus:
 
  • Met deze regel kan verder afgeleid worden voor de afgeleide van   met  , dat voor   geldt:
 
Deze afleiding is moeilijker dan de drie bovenstaande en vereist universitaire kennis met betrekking tot continuïteit en de e-macht. Verderop in dit artikel staat een vlotte, elegante afleiding via de kettingregel.
Noem ten behoeve van notatie:  .
 
 
(Gebruik continuïteit van de logaritme om de limiet en logaritme te verwisselen)
 
 
(Gebruik een karakterisering van de e-macht)
 
Analoog:
 
 
Omdat linker- en rechterlimiet gelijk zijn, geldt:
 
De afleiding van de afgeleide van de sinus berust op de gehanteerde definitie, bijvoorbeeld de reeksdefinitie.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

RekenregelsBewerken

  • Lineariteit:
 
 
 
 
 
 

Toepassing van de rekenregelsBewerken

Met behulp van de rekenregels kan een eenvoudiger afleiding gegeven worden voor de afgeleide van de logaritme. De logaritme is de inverse van de e-macht, dus:

 

dus:

 .

We vinden ook de regel voor de vierkantswortel:

  mits  .

Met behulp van de kettingregel kan ook de afgeleide van   worden bepaald, namelijk

 ,

en dus:

 

Niet differentieerbaarBewerken

De functie   is weliswaar continu in het punt 0, maar daar niet differentieerbaar. Er geldt namelijk:

 

en

 

De linker- en rechterlimieten zijn ongelijk aan elkaar. Dit is aan de vorm van de grafiek van de functie ook goed te zien.

De functie signum of "het teken" van  :

 

is niet continu in het punt 0 en dus daar niet differentieerbaar. Er geldt:

 

en

 

Functies van meer dan één variabeleBewerken

Als de functie   van meer dan één veranderlijke afhangt, kan men alle veranderlijken op een na een constante waarde geven en de afgeleide ten opzichte van de ene overblijvende veranderlijke bestuderen. Deze afgeleiden heten partiële afgeleiden.

Het artikel differentieerbaarheid bespreekt hoe de afgeleide van een functie van   naar   kan worden opgevat als een matrix.

Afgeleiden van hogere ordenBewerken

Is van een functie   de afgeleide   ook differentieerbaar, dan is het mogelijk hiervan de afgeleide   te bepalen. Deze heet de afgeleide van de tweede orde, of kortweg tweede afgeleide van  . Ook nog hogere afgeleiden komen voor. De  -de afgeleide van   wordt, als deze bestaat, aangeduid met  , of als   een functie is van de variabele   ook als:

 ,   of  

De hogere afgeleiden van een functie   kunnen bepaald worden uit de betrekking

 

Fractionele afgeleidenBewerken

Het is ook mogelijk afgeleiden van niet-gehele orde te definiëren, bijvoorbeeld van orde  . Deze hebben met integralen gemeen dat hun waarde van zowel een boven- als een ondergrens afhangt. Bij afgeleiden van gehele orde is dit niet zo. Een van de manieren waarop een dergelijke fractionele afgeleide bepaald kan worden is door eerst een functie aan fouriertransformatie te onderwerpen, vervolgens te vermenigvuldigen met de frequentie   tot de macht  , en daarna weer terug te transformeren.

ToepassingenBewerken

Belangrijke toepassingen vindt de afgeleide in de wiskunde. Zo kan een maximum of minimum van een functie gevonden worden door de afgeleide te bepalen. Indien een functie voor een bepaalde  -waarde een (lokaal) maximum of een (lokaal) minimum bereikt, dan is de afgeleide van de functie op dat punt indien deze bestaat gelijk aan nul, en wisselt bij de daaropvolgende  -waarden van teken (wordt positief of juist negatief). Om een grafiek van een functie met de hand te tekenen is het daarom zinvol eerst de eventuele maxima en minima te bepalen. Om te bepalen of de punten waarin de afgeleide gelijk is aan nul maxima of minima zijn wordt soms gebruikgemaakt van de Hessiaan.

Een toepassing van de tweede afgeleide is het volgende. Indien   een punt is waarvoor geldt dat  , dan is het punt   een buigpunt, een lokaal maximum of een lokaal minimum. Deze drie gevallen kunnen onderscheiden worden door naar waarde   van de tweede afgeleide in het punt   te kijken. Als  , is er sprake van een lokaal maximum, en als  , is er een lokaal minimum. Is  , dan is nader onderzoek nodig van het verloop van de tweede afgeleide in een omgeving van   om een uitspraak (buigpunt, lokaal maximum, lokaal minimum) te kunnen doen.

Veel toepassingen heeft de afgeleide ook in de natuurkunde. Zo is bijvoorbeeld de snelheid de afgeleide bij het berekenen van plaats als functie van tijd. De versnelling is (bij een rechtlijnige beweging) dan weer de afgeleide van de snelheid.

Ook binnen de economie heeft de afgeleide verschillende toepassingen, zeker sinds de zogenaamde "marginale revolutie" binnen de economische wetenschap. Via de afgeleide kunnen we begrippen als marginale opbrengst en marginale kosten berekenen. In deze gevallen gaat het om de afgeleide van de totale opbrengst en de totale kosten.

Vaak gebruikte afgeleidenBewerken

WebsitesBewerken