Lagrange-polynoom

Lagrange-polynomen worden in de numerieke analyse gebruikt om van een onbekende functie waarvan slechts in een eindig aantal punten de functiewaarde bekend is, de waarde in tussengelegen punten te benaderen. Hierbij wordt een lineaire combinatie van polynomen gebruikt, de lagrange-polynomen. Deze polynomen horen bij de punten , en wel zo dat het -de polynoom de waarde 1 heeft in het punt en de waarde 0 in de overige punten. De coëfficiënten van de lineaire combinatie zijn dan juist de bekende functiewaarden in de betreffende punten. De functiewaarde van de lineaire combinatie in een tussengelegen punt , is een benadering van de onbekende functiewaarde in .

De lagrange-polynomen zijn genoemd naar Joseph-Louis Lagrange, maar werden voor het eerst beschreven in 1779 door Edward Waring, en herontdekt in 1783 door Leonhard Euler.

DefinitieBewerken

De lagrange-polynomen die horen bij de   punten   zijn de   polynomen   van de graad  , gedefinieerd door

 

EigenschappenBewerken

Eenvoudig is te zien dat voor de lagrange-polynoom   geldt:

 

en

 

De lagrange-polynoom   is de unieke  -de-graadspolynoom die voldoet aan de bovenstaande eigenschap, d.w.z.

 

is de unieke oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen

 

waarbij   het symbool is voor de Kronecker-delta.

ToepassingBewerken

Als van de functie   de functiewaarde in de   punten   bekend is, kan   benaderd worden door  -de-graadspolynoom

 

Zie ookBewerken