Hoofdmenu openen

Machtsverheffen is een wiskundige operatie, die wordt geschreven als , waarbij twee getallen, het grondtal of de factor en de exponent , betrokken zijn. Als een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging; met andere woorden, een product van factoren van :

,

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeenkomt met herhaald optellen:

Men zegt: tot de macht , of tot de -de macht, of ook kort tot de -de. Zo is 2 tot de macht 3, of 2 tot de derde: 2³ = 2×2×2 = 8, met 2 het grondtal en 3 de exponent van de macht 2³. Verwar macht niet met exponent.

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Inhoud

DefinitieBewerken

Voor het natuurlijke getal   is de  -de macht van het grondtal  , genoteerd als  , gedefinieerd als het product van   factoren  .

Uit deze definitie volgt ook dat

 

De gebruikelijke notatie is om de exponent  , die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Voor   is een aparte definitie nodig. Voor   is de gebruikelijke definitie:

 

Met deze definitie blijft de betrekking   geldig voor  .

Door de uitbreiding van de definitie met:

 

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

 

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

GeschiedenisBewerken

De notaties   en   als afkortingen voor   en   komen voor bij Thomas Harriot in zijn postume werk Artis analyticae praxis uit 1631. René Descartes maakt uitgebreid gebruik van die notatie voor positieve gehele exponenten. John Wallis definieert negatieve en gebroken exponenten.[1]

Rekenen met machtenBewerken

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor   is:

  •  
  •  
  •  
  •  

De afspraak   is zo gekozen dat de genoemde rekenregels algemeen geldig zijn voor  

  •   voor  , en ook voor   als   en   geheel zijn.

Deze rekenregel houdt bijvoorbeeld in dat  .

N.B. machtsverheffen is dus ook niet associatief; d.w.z dat in het algemeen niet geldt dat  

  •   als   geheel is of als  .

Als het grondtal   is, geldt nog:

voor   is:

  •  
  •   wordt vaak niet gedefinieerd. Soms wordt ervoor gekozen   te stellen, zie onder: Nul tot de macht nul.

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal   geldt:

 

Omgekeerde bewerkingenBewerken

Daar machtsverheffen niet commutatief is,

 

terwijl

 ,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme

  en  
  en  

AfgeleideBewerken

Vatten we de  -de macht van   op als functie van  , dus voor zekere exponent   is:

 ,

dan wordt de afgeleide gegeven door:

 .

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal   is:

 

dan wordt de afgeleide gegeven door:

 ,

waarin   de natuurlijke logaritme van   is.

Machten en complexe getallenBewerken

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

 .

Reeksontwikkeling met machtenBewerken

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen   en  , met  , geldt

 

Nul tot de macht nulBewerken

In situaties waar de exponent niet continu verandert komt men de afspraak   op een aantal plaatsen tegen:

  • De IEEE standaard.
  • Combinatorisch stelt   het aantal afbeeldingen voor van een verzameling van   elementen in een verzameling van   elementen. Doorredenerend is   het aantal afbeeldingen van de lege verzameling in de lege verzameling. Dat is er maar 1 (de lege functie).
  • Een machtreeks als   zou anders niet gedefinieerd zijn voor  , of men zou de langere formule  moeten hanteren. Hetzelfde geldt voor polynoom notatie  .
  • De formule voor het binomium   is niet geldig voor   zonder deze afspraak.
  • De formule waarin staat dat de afgeleide functie van   voor alle   gelijk is aan   maakt, bij n=1, impliciet de aanname dat   voor alle  .
  • De stelling dat men bij machtsverheffing modulo   het grondtal mag herleiden klopt alleen als  .

Zie ookBewerken

LinkBewerken