Geheel getal

getal zonder cijfers achter de komma, positief of negatief

De gehele getallen zijn alle getallen in de rij

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die voortgezet wordt door er steeds 1 bij te tellen of er 1 af te trekken. De gehele getallen omvatten 0, de natuurlijke getallen,[1] dus de getallen waarmee wordt geteld, en de tegengestelden daarvan, de negatieve gehele getallen.

Een geheel getal heet 'geheel' omdat het niet gebroken is en zonder cijfers achter de komma kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en −121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en geen gehele getallen zijn. De verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de reële getallen, en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukte Z of het symbool (Unicode U+2124 ), wat voor Zahlen, het Duits voor getallen, staat.[2]

De wiskundetak die zich met de studie bezighoudt naar de eigenschappen van de gehele getallen, noemt men de getaltheorie.

DefinitieBewerken

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De gehele getallen kunnen worden gedefinieerd als de elementen van de kleinste verzameling   met de eigenschappen:

 
 
 

Voor de representatie van gehele getallen in de computer maakt men gebruik van het datatype integer. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is, aangezien een integer een beperkte hoeveelheid geheugen inneemt, een eindige verzameling, terwijl de gehele getallen een oneindige verzameling vormen.

EigenschappenBewerken

  • De verzameling gehele getallen is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerking delen: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op, bijvoorbeeld 1/2 is een rationaal getal. De gehele getallen vormen een ring.
  • De elementen van   hebben een bepaalde volgorde. Strikter geformuleerd: de verzameling   wordt totaal geordend door de relatie   (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.
 
Deze orde heeft de eigenschappen:
  • als   en  , dan is  
  • als   en  , dan is  
  • Bij iedere twee gehele getallen   en  , waarvan   is, zijn altijd twee unieke gehele getallen   en   te vinden, met  , zodat:
 
In bovenstaande stelling heet het getal   het quotiënt en   de rest van de deling van   door  . Deze vorm van delen heet geheeltallige deling.
Als in bovenstaande stelling  , is de breuk  , dus geheel. Als  , is de breuk   geen geheel, maar een rationaal getal, met een geheel deel   en een gebroken of fractioneel deel  .

KardinaliteitBewerken

De gehele getallen kunnen afgeteld worden, anders gezegd: de verzameling   is gelijkmachtig aan de verzameling   van natuurlijke getallen, dus aftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten als het ware "evenveel" elementen, hoewel de natuurlijke getallen toch maar een deel van de gehele getallen vormen. De kardinaliteit van de gehele getallen wordt aangegeven met het symbool   (aleph-null). Dat de gehele getallen kunnen worden afgeteld, kan als volgt worden aangetoond:

 

Op deze manier worden de gehele getallen door de bijectie   een-op-een op de natuurlijke getallen, zonder 0, afgebeeld met

 

De bijectie   met

 

beeldt de gehele getallen op alle natuurlijke getallen af, met 0.

Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit.

Meer gehele getallenBewerken

De Gauss-gehele getallen en de Eisenstein-gehele getallen zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar de complexe getallen.