Hoofdmenu openen

Geheel getal

getal zonder cijfers achter de komma, positief of negatief
Symbool om de verzameling gehele getallen aan te geven

De gehele getallen zijn alle getallen in de rij

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die voortgezet wordt door er steeds 1 bij te tellen of er 1 af te trekken. De gehele getallen omvatten de natuurlijke getallen, dus de getallen waarmee geteld wordt, en de tegengestelden daarvan, de negatieve gehele getallen.

Een geheel getal heet 'geheel' omdat het zonder fractionele of decimale componenten kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en −121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en geen gehele getallen zijn. De verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de reële getallen, en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukte Z of het symbool (Unicode U+2124 ), wat voor Zahlen (het Duitse woord voor getallen) staat.[1]

Het gedeelte van de wiskunde dat zich bezighoudt met de studie naar de eigenschappen van de gehele getallen noemt men de getaltheorie.

Formele definitieBewerken

De gehele getallen kunnen formeel worden gedefinieerd als equivalentieklassen van paren natuurlijke getallen.

IntegerBewerken

Voor de representatie van gehele getallen in de computer maakt men gebruik van het datatype integer. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is een eindige verzameling, terwijl de gehele getallen een oneindige verzameling vormen.

Algebraïsche eigenschappenBewerken

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De verzameling gehele getallen is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerking delen: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op (bijvoorbeeld 1/2, zie rationaal getal).

Formeel wiskundig kan men de gehele getallen karakteriseren als de kleinste verzameling   met de eigenschappen:

 
 
 

OrdeningBewerken

De elementen van   hebben een bepaalde volgorde, maar geen onder- of bovengrens. Strikter geformuleerd: de verzameling   wordt totaal geordend door de relatie   (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

 

Deze orde heeft de eigenschappen:

  1. als   en  , dan is  
  2. als   en  , dan is  

Geheeltallige delingBewerken

  Zie Geheeltallige deling voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een belangrijke eigenschap van de gehele getallen is de volgende. Bij iedere twee gehele getallen   en  , waarvan   is, zijn altijd twee unieke gehele getallen   en   te vinden, met  , zodat:

 .

In bovenstaande stelling heet het getal   het quotiënt en   de rest van de deling van   door  .

Als in bovenstaande stelling  , is de breuk  , en dus geheel. Als  , is de breuk   een niet-geheel rationaal getal, met een geheel deel   en een gebroken of fractioneel deel  .

KardinaliteitBewerken

De gehele getallen kunnen afgeteld worden, anders gezegd: de verzameling   is gelijkmachtig aan de verzameling   van natuurlijke getallen, dus aftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten als het ware "evenveel" elementen, hoewel de natuurlijke getallen toch maar een deel van de gehele getallen vormen. De kardinaliteit van de gehele getallen wordt aangegeven met het symbool   (aleph-null). Dat de gehele getallen afgeteld kunnen worden, kan eenvoudig worden aangetoond:

 

Op deze manier worden de gehele getallen een-op-een afgebeeld op de natuurlijke getallen (zonder 0) door de bijectie   met

 

De bijectie   met

 

beeldt de gehele getallen af op alle natuurlijke getallen, dus inclusief 0.

Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen een gelijke kardinaliteit.

Verwante onderwerpenBewerken