Karakteristieke polynoom

In de lineaire algebra is de karakteristieke polynoom of karakteristieke veelterm van een vierkante matrix een polynoom die enkele specifieke kenmerken van de matrix bevat, zoals het spoor en de determinant van de matrix. Deze polynoom vindt vooral toepassing bij het bepalen van de eigenwaarden.

Definitie

Voor een $n\times n$-matrix $A$ is de karakteristieke polynoom $P_{A}$, gedefinieerd door:

$P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I_{n})$

Hierin staat 'det' voor de determinant en $I_{n}$ voor de $n\times n$-eenheidsmatrix. Het is dus de determinant van de matrix die ontstaat nadat van elk van de elementen op de hoofddiagonaal van $A$ het getal $\lambda$ is afgetrokken. Zie ook het voorbeeld verderop in dit artikel.

Stelt men de karakteristieke polynoom gelijk aan 0, dan ontstaat de karakteristieke vergelijking:

$\det(A-\lambda I_{n})=0$

Dit is een veeltermvergelijking van graad $n$ in de onbekende $\lambda$ waarvan de oplossingen de eigenwaarden van $A$ zijn.

Eigenschappen

In de eigenschappen hieronder is $A$ een $n\times n$-matrix met karakteristieke polynoom $P_{A}(\lambda )$.

• De nulpunten van $P_{A}$ zijn de eigenwaarden van $A$.
• De constante term in $P_{A}(\lambda )$ is de determinant van $A$.
• De coëfficiënt van $\lambda ^{n-1}$ is het spoor van $A$, op het teken na indien $n$ even is.

De laatste twee eigenschappen maken het mogelijk de karakteristieke polynoom $P_{A}(\lambda )$ van een 2×2-matrix $A$ te schrijven als:

$\lambda ^{2}-{\rm {sp}}(A)\lambda +\det(A)$

• Gelijkvormige matrices hebben dezelfde karakteristieke polynoom.
• De getransponeerde matrix heeft dezelfde karakteristieke polynoom als de matrix zelf.
• Stelling van Cayley-Hamilton: Een matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking; symbolisch: $P_{A}(A)=0$.

Voorbeeld

Beschouw de volgende 2×2-matrix $A$:

$A={\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}}$

De karakteristieke polynoom is:

$P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I_{n})={\begin{vmatrix}1-\lambda &4\\0&2-\lambda \end{vmatrix}}=(1-\lambda )(2-\lambda )-4\cdot 0=\lambda ^{2}-3\lambda +2$

Uit de karakteristieke polynoom volgen nu direct de determinant (2) en het spoor (3) volgens de eerder gegeven eigenschappen.

De eigenwaarden zijn de nulpunten van de karakteristieke vergelijking:

$\lambda ^{2}-3\lambda +2=0\Leftrightarrow (1-\lambda )(2-\lambda )=0\Rightarrow \lambda =1\lor \lambda =2$

De eigenwaarden van $A$ zijn dus 1 en 2.

$A$ voldoet zelf aan zijn karakteristieke vergelijking, want:

$P_{A}(A)=A^{2}-3A+2I={\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}}^{2}-3{\begin{bmatrix}1&4\\0&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&12\\0&4\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}3&12\\0&6\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}=0$