Elementaire symmetrische polynoom

In de wiskunde zijn de elementaire symmetrische polynomen de bouwstenen voor de symmetrische polynomen. Een symmetrische polynoom kan op precies één manier uitgedrukt worden in elementaire symmetrische polynomen.

Bij elk aantal onbekenden is er precies één elementaire symmetrische polynoom van graad ten hoogste gelijk aan dat aantal.

Definitie

bewerken

De elementaire symmetrische polynomen in de   onbekenden   zijn de coëfficiënten in de polynoom   in  , gegeven door:

 

Expliciet:

 
 
 
 
 
 
 

De elementaire symmetrische polynoom   van de graad   bestaat dus uit de som van alle verschillende producten van   van de variablen.

Voorbeeld

bewerken

Voor drie variabelen   en   zijn de elementaire symmetrische polynomen:

 
 
 
 

Eigenschappen

bewerken
  • Een elementaire symmetrische polynoom is een homogene polynoom en alle termen hebben dezelfde graad.
  • De elementaire symmetrische polynoom   in   variabelen bestaat uit   termen.
Iedere symmetrische polynoom kan op precies één manier uitgedrukt worden in elementaire symmetrische polynomen.

Toepassing

bewerken

Bij berekeningen kan soms handig gebruikgemaakt worden van de elementaire symmetrische polynomen. Bijvoorbeeld:

  •  
  •  
  •  

Literatuur

bewerken
  • Siegfried Bosch: Algebra. 8e druk. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, hoofdstuk 4, par 4.
  • Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3e druk, Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, hoofdstuk III, §4.1.
  • Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2e druk, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, hoofdstuk IV, §3.3.

Referenties

bewerken
  1. Jantzen, Schwermer: Algebra 2014, Kapitel IV, Satz 3.5.