Appell-veeltermen

In de wiskunde duidt men met Appell-veeltermen of Appell-rij een veeltermrij aan, met de eigenschap dat de afgeleide van de $n$-de veelterm gelijk is aan $n$ maal de $(n-1)$-de veelterm. Ze zijn genoemd naar de Franse wiskundige Paul Appell, die er in 1880 een artikel over publiceerde.

Een Appell-rij is dus een rij veeltermen $A_{0}(x),A_{1}(x),\dots ,A_{n-1}(x),A_{n}(x),\ldots$ waarbij $A_{n}(x)$ een veelterm is van graad $n$, en

${\frac {\mathrm {d} A_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}=nA_{n-1}(x)$

Er zijn oneindig veel rijen van veeltermen die hieraan voldoen; de eenvoudigste is wellicht de rij

$1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\dots$

van de opeenvolgende machten van de variabele $x$. Maar men kan met een willekeurige rij getallen $a_{i},i=0,1,\ldots (a_{0}\neq 0)$ een Appell-rij maken; de overeenkomstige rij is:

$A_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{n \choose k}x^{n-k}$,

waarvan de eerste termen zijn:

$A_{0}(x)=a_{0}$

$A_{1}(x)=a_{0}x+a_{1}$

$A_{2}(x)=a_{0}x^{2}+2a_{1}x+a_{2}$

$A_{3}(x)=a_{0}x^{3}+3a_{1}x^{2}+3a_{2}x+a_{3}$

$A_{4}(x)=a_{0}x^{4}+4a_{1}x^{3}+6a_{2}x^{2}+4a_{3}x+a_{4}$

enzovoort. De $n$-de veelterm wordt recursief bepaald door:

$A_{n}(x)=\int _{0}^{x}A_{n-1}(t)\mathrm {d} t+a_{n}$

waarin de integratieconstante $a_{n}$ vrij te kiezen is (op voorwaarde dat $a_{0}\neq 0$ is). Als men $a_{0}=1,a_{1}=a_{2}=\ldots =0$ kiest, verkrijgt men de machten van $x$.

Hermite-veeltermen (mits scalering), bernoulli- en euler-veeltermen zijn voorbeelden van Appell-rijen. Bernoulli-veeltermen verkrijgt men door als integratieconstanten de Bernoulligetallen te nemen.

Voortbrengende functie

Appell noemde de functie

$f(h)=a_{0}+a_{1}h+{\tfrac {a_{2}}{2!}}h^{2}+\ldots +{\tfrac {a_{n}}{n!}}h^{n}+\ldots$

de voortbrengende functie van een Appell-rij. Bij elke $f(h)$ met gegeven coëfficiënten $(a_{i})$ hoort een Appell-rij $(A_{n})$ en omgekeerd. Het verband komt tot uiting indien men het product maakt van $f(h)$ met

$e^{hx}=1+hx+{\tfrac {h^{2}}{2!}}x^{2}+\ldots +{\tfrac {h^{n}}{n!}}x^{n}+\dots$

Als men dit product rangschikt naar de machten van $h$, is de coëfficiënt van ${\tfrac {h^{n}}{n!}}$ gelijk aan $A_{n}$:

$f(h)e^{hx}=A_{0}+A_{1}h+A_{2}{\tfrac {h^{2}}{2!}}+\ldots +A_{n}{\tfrac {h^{n}}{n!}}+\ldots$

Voorbeelden

Voor de machten van $x$ is de voortbrengende functie $f(h)=1$.

Met de voortbrengende functie $f(h)=1-h$ krijgt men:

$(1-h)e^{hx}=1+(x-1)h+(x^{2}-2x){\tfrac {h^{2}}{2!}}+(x^{3}-3x^{2}){\tfrac {h^{3}}{3!}}+\ldots$

wat de veeltermrij $A_{n}=x^{n}-nx^{n-1}$ oplevert.

Als de functie $f(h)$ de rij $(A_{i}),i=0,1,2,\ldots$ voortbrengt, en $(B_{i}),i=0,1,2,\ldots$ wordt voortgebracht door de afgeleide $f'(h)$, is het verband tussen beide rijen:

$B_{n}=A_{n+1}-xA_{n}$

Als de functie $f(h)$ de rij $(A_{i}),i=0,1,2,\ldots$ voortbrengt, en $(C_{i}),i=0,1,2,\ldots$ wordt voortgebracht door de integraal $\int {f(h)\mathrm {d} h}$,is het verband tussen beide rijen:

$C_{n}=C_{0}x^{n}+A_{0}x^{n-1}+\ldots +A_{n-2}x+A_{n-1}$

Hierin is $C_{0}$ een willekeurige integratieconstante.

Externe link

• Planet Math: Appell sequence

Bronnen, noten en/of referenties