Gladde functie

In de analyse is een gladde functie een functie die oneindig vaak (willekeurig vaak) differentieerbaar is. Een gladde functie behoort daarmee tot de hoogste differentieerbaarheidsklasse, $C^{\infty }$. Het woord glad doelt op het gladde, zeer gelijkmatige verloop van de grafiek van zo'n functie.

Een bultfunctie is een gladde functie met een compacte drager

Voorbeelden

De $C^{0}$-functie $f(x)=x$ voor $x\geq 0$ en anders 0

De functie $f(x)=x^{2}\sin(1/x)$ voor $x>0$

De functie

$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{voor }}x\geq 0,\\0&{\mbox{voor }}x<0\end{cases}}$

is continu, maar niet differentieerbaar als $x=0$. De functie is daarom van differentieerbaarheidsklasse $C^{0}$ en niet van differentieerbaarheidsklasse $C^{1}.$

De functie

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}&{\mbox{voor }}x\neq 0,\\0&{\mbox{voor }}x=0\end{cases}}$

is differentieerbaar, met afgeleide

$f'(x)={\begin{cases}-\cos {({\tfrac {1}{x}})}+2x\sin {({\tfrac {1}{x}})}&{\mbox{voor }}x\neq 0,\\0&{\mbox{voor }}x=0\end{cases}}$

Omdat de functie $\cos(1/x)$ oscilleert als $x$ tot nul nadert, is $f'$ niet continu in nul. De functie $f$ is wel differentieerbaar, maar niet van differentieerbaarheidsklasse $C^{1}$.

De functie

$f(x)=x^{3/2}\sin({\tfrac {1}{x}})\quad {\mbox{voor }}x\neq 0$

kan worden gebruikt om te laten zien dat de afgeleide van een differentieerbare functie onbegrensd kan zijn op een compacte verzameling en dat een differentieerbare functie op een compacte verzameling daarom niet lokaal lipschitz-continu hoeft te zijn.

Een gladde functie die niet analytisch is

De exponentiële functie is analytisch, dus van differentieerbaarheidsklasse $C^{\infty }$. De goniometrische functies zijn analytisch, hoe ze ook zijn gedefinieerd.

De functie

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ voor }}|x|<1,\\0&{\mbox{ anders }}\end{cases}}$

is glad, dus van klasse $C^{\infty }$, maar is niet analytisch op $x=\pm 1$, en is dus niet van klasse $C^{\omega }$. De functie $f$ is een voorbeeld van een gladde functie met compacte ondersteuning.

Relatie tot de analyse

Hoewel alle analytische functies glad zijn op de verzameling waarop zij analytisch zijn, laat het bovenstaande voorbeeld zien dat het omgekeerde niet waar is voor functies op de reële getallen: er bestaan gladde reële functies die niet analytisch zijn. Hoewel het lijkt dat dit soort functies eerder uitzondering dan regel zijn, blijkt dat de analytische functies zeer dun verspreid zijn in verhouding tot de gladde functies; meer formeel gesproken vormen de analytische functies een schamele deelverzameling van de gladde functies. Verder bestaan er voor iedere open deelverzameling $A$ van de reële getallen gladde functies die analytisch op $A$ zijn, maar nergens anders.

Het is nuttig deze situatie te vergelijken met de alomtegenwoordigheid van transcendente getallen op de reële getallenlijn. Zowel op de reële getallenlijn als op de verzameling van gladde functies gedragen de voorbeelden die als eerste bij ons opkomen (algebraïsche/rationale getallen en analytische functies), zich veel beter dan de meerderheid van de gevallen: transcendente getallen en nergens zijn er analytische functies te bekennen die de volledige maat hebben (hun complementen zijn schamel).

De aldus omschreven situatie staat in schril contrast met complexe differentieerbare functies. Als een complexe functie slechts één keer differentieerbaar is op een open verzameling, is deze complexe functie op deze verzameling zowel oneindig vaak differentieerbaar als analytisch.