Vierkante matrix

Een vierkante matrix is een matrix die evenveel rijen als kolommen bevat. Als er $n$ rijen zijn, dan zijn er dus ook $n$ kolommen, en spreekt men van een $n\times n$-matrix.

Een vierkante matrix van de orde 4

Vierkante matrices worden onder meer gebruikt om lineaire transformaties, zoals lineaire vervorming en rotatie weer te geven. Als bijvoorbeeld $R$ een vierkante matrix is die een rotatie (rotatiematrix) vertegenwoordigt, en $v$ een kolomvector is die de positie van een punt in de ruimte aangeeft, dan is het product $Rv$ een andere kolomvector die de positie van dat punt na de uitgevoerde rotatie beschrijft. Als $v$ een rijvector is, kan dezelfde transformatie worden verkregen met behulp van $vR^{T}$ waarin $R^{T}$ de getransponeerde matrix van $R$ is.

Hoofddiagonaal

Zie hoofddiagonaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De elementen $a_{ii},(i=1,\ldots ,n)$ vormen de hoofddiagonaal van de $n\times n$-matrix $A$. Ze liggen op de denkbeeldige lijn die van de linkerbovenhoek naar de rechterbenedenhoek van de matrix loopt. In het hierboven afgebeelde plaatje van een $4\times 4$-matrix liggen de elementen $a_{11}=9,\ a_{22}=11,\ a_{33}=4$ en $a_{44}=10$ op de hoofddiagonaal.

De diagonaal die in een vierkante matrix van de rechterbovenhoek naar de linkerbenedenhoek loopt, wordt de antidiagonaal of tegendiagonaal genoemd.

Speciale typen

Naam	Voorbeeld met $n=3$
Diagonaalmatrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Benedendriehoeksmatrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Bovendriehoeksmatrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Diagonaalmatrix

Als alle elementen van de vierkante matrix $A$ behalve die op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul, wordt $A$ een diagonaalmatrix genoemd.

Driehoeksmatrix

Als alle elementen boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul, spreekt men van een benedendriehoeksmatrix. Zijn de alle elementen onder de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan spreekt men van een bovendriehoeksmatrix.

Identiteitsmatrix

De identiteitsmatrix $I_{n}$ van de orde $n$ is de $n\times n$-diagonaalmatrix waarin alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\cdots ,I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Vermenigvuldiging van een matrix met de identiteitsmatrix van dezelfde orde, laat de matrix ongewijzigd. Voor elke $n\times n$-matrix $A$ geldt

$A\,I_{n}=I_{n}A=A$

Inverse matrix

Een vierkante $n\times n$-matrix $A$ wordt inverteerbaar of niet-singulier genoemd, als er een matrix $B$ bestaat zodanig dat

$AB=BA=I_{n}$.

Als $B$ bestaat is deze matrix uniek. Men noemt haar de inverse matrix van $A$ en noteert haar als $A^{-1}$

De inverteerbare $n\times n$-matrices vormen met de bewerking matrixvermenigvuldiging een groep met als eenheidselement de eenheidsmatrix van de orde $n.$

Symmetrische en scheefsymmetrische matrix

Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan haar getransponeerde; dus $A$ is symmetrisch als:

$A=A^{T}$.

Een scheefsymmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van haar getransponeerde; dus $A$ is scheefsymmetrisch als:

$A=-A^{T}$.

Hermitische matrix

In veel gevallen spelen Hermitische matrices bij de complexe matrices een vergelijkbare rol als de symmerische matrices bij reële matrices. Een Hermitische matrix is een vierkante complexwaardige matrix die gelijk is aan haar geadjungeerde, dat wil zeggen aan de getransponeerde van de matrix met als elementen de geconjugeerde elementen van de oorspronkelijke matrix.

Vanwege de spectraalstelling hebben zowel reële symmetrische matrices als complexe Hermitische matrices een basis van eigenvectoren, dat wil zeggen dat elke vector kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van eigenvectoren. In beide gevallen zijn alle eigenwaarden reëel. Deze stelling kan worden veralgemeend tot oneindig-dimensionale ruimten die gerelateerd zijn aan matrices met oneindig veel rijen en kolommen, zie hieronder.