Logaritme

De logaritme van een getal is de exponent waartoe een vast getal, het zogenaamde grondtal, moet worden verheven om dat eerste getal als resultaat te verkrijgen. Voor het grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Meer in het algemeen geldt dat als , het getal de logaritme van is voor het grondtal . Dit wordt geschreven als . Zo is bijvoorbeeld . De logaritme is rond 1600 bedacht om makkelijk grote getallen te vermenigvuldigen en te delen. Met behulp van logaritmen kan met exponenten gewerkt worden, die veel kleiner zijn dan de getallen zelf.

Grafiek van de wiskundige functies ln(x) en log10(x)
Beide functies hebben aan de linkerzijde van de grafiek als verticale asymptoot de lijn .

DefinitieBewerken

De logaritme voor het grondtal   van een getal   is de macht waartoe men het grondtal   moet verheffen om   als uitkomst te krijgen, dus:

 

Zowel het grondtal   als het argument   moeten groter zijn dan 0; bovendien mag het grondtal   niet gelijk zijn aan 1.

Bestaan van de logaritmeBewerken

Als   dan is heeft de exponentiële functie

 

een horizontale asymptoot bij   en bereikt ze willekeurig grote waarden aan de rechterkant van haar domein:

 

Bovendien is   continu, zodat ze alle positieve reële waarden bereikt. Daaruit volgt dat iedere   een logaritme   heeft volgens bovenstaande definitie. Dat er precies één zulke waarde   bestaat, volgt uit het feit dat de functie   strikt stijgend is.

Voor   geldt een gelijkaardige redenering, behalve dat de willekeurig grote waarden aan de linkerkant worden bereikt:

 

en dat de functie   strikt dalend is in plaats van stijgend.

De logaritme van 0 met welk grondtal dan ook is niet gedefinieerd, omdat er geen macht bestaat met welk grondtal dan ook die resulteert in nul. Daarom heeft elke grafiek van de logaritme geen beeld in nul. Er is steeds een verticale asymptoot bij  .

GrondtalBewerken

Voor de logaritmefunctie (en haar inverse) is een vast grondtal vereist. Elk getal groter dan 1 is hiervoor geschikt, en bij uitbreiding ook elk getal tussen 0 en 1. Maar vooral de volgende drie grondtallen worden veel gebruikt:

 
  • Logaritmen met het grondtal 10. Men spreekt van de briggse logaritme en noteert deze als   of   bijvoorbeeld:
 
  • Logaritmen met het grondtal 2. Dit type logaritmen komt voor in onder andere de informatica en vooral de informatietheorie. Deze logaritme wordt genoteerd als   of   bijvoorbeeld:
 

Omzetting tussen verschillende grondtallenBewerken

Logaritmen laten zich gemakkelijk omzetten naar een ander grondtal; zij verhouden zich als een constante factor. Uit

 ,

volgt namelijk dat

 .

Overigens ziet deze betrekking er fraaier uit in de andere notatie voor logaritmen (het treintje):

 .

VoorbeeldenBewerken

  • Praktisch voorbeeld met een rekenmachine die toelaat   of   te berekenen, maar niet rechtstreeks  :
 , dus
  of ook  .
  • Omrekening van   naar  
 

NotatieBewerken

De logaritme is een wiskundige functie die wordt genoteerd als   met het grondtal   als benedenindex:  , of als vooraangeplaatst superscript:  . Vaak wordt in een tekst met logaritmen steeds hetzelfde grondtal gebruikt. Men schrijft dan in de formules gewoon telkens  . Het grondtal wordt dan eventueel eenmalig vermeld.

De ISO-standaard voor wiskundige tekens en symbolen in de natuurwetenschappen en in de technologie is ISO 80000-2. Voor logaritmen vermeldt hij de volgende notaties:[1]

Grondtal Symbool
   
e  
10  
2  

De standaard specificeert ook dat de notatie   (dus met weglating van het grondtal  ) niet mag gebruikt worden voor de grondtallen   10 of 2.

Algebraïsche eigenschappenBewerken

Rekenen met logaritmenBewerken

Bij het werken met logaritmen kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande regels

  •  , per definitie
  •  
  •  , als   en  
  •  
volgt uit:  
  •  
volgt uit:  
  •  
  •   voor  
  •  , soms ook geschreven:  
  •  
  •  
  •   voor   en  
volgt uit:  

InverseBewerken

Inverse bewerkingBewerken

De logaritme kan worden gezien als een bewerking die met twee getallen   en   een nieuw getal   associeert, ongeveer zoals de optelling met twee getallen hun som associeert.

De omgekeerde bewerking van de optelling is de aftrekking, want de uitspraak   is gelijkwaardig met   en ook met   De omgekeerde bewerking van de vermenigvuldiging is de deling, omdat   gelijkwaardig is met   en met  

Voor de machtsverheffing zijn er evenwel twee verschillende omgekeerde bewerkingen, omdat bij de machtsverheffing het resultaat afhangt van de volgorde der operanda:   is meestal niet hetzelfde als   Naargelang of we de vergelijking   willen oplossen naar   of naar   is de omgekeerde bewerking de worteltrekking respectievelijk de logaritme:   en  

Inverse functieBewerken

De logaritme met een vast grondtal   kan worden gezien als een functie die met één getal   een nieuw getal   associeert. De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie, in de betekenis van "inverse voor de samenstelling van functies", niet in de betekenis van "inverse voor de vermenigvuldiging". In opeenvolging maken zij elkaar dus ongedaan.

Gevolg: machtsverheffen en dan logaritme nemen - beide met zelfde grondtal - heeft geen effect.

 

En logaritme nemen en dan machtsverheffen evenmin.

 

De logaritme voor het grondtal   is dus de inverse van de exponentiële functie met   als grondtal. Wanneer men de grafiek van de logaritme voor het grondtal   spiegelt ten opzichte van de lijn  , krijgt men zoals altijd de grafiek van de inverse functie, hier dus  .

Groepsisomorfisme en commutatief diagramBewerken

Logaritmen vormen de brug van de wereld van vermenigvuldigen (van strikt positieve reële getallen) naar de wereld van optellen (van alle reële getallen). De omgekeerde weg is zoals gezegd de exponentiële functie. Deze weg heen en terug heet een groepsisomorfisme omdat de mooie groepseigenschappen van de ene wereld erdoor automatisch worden overgedragen op de andere. Optellen en vermenigvuldigen blijken zich in zekere zin identiek te gedragen.

Commutativiteit betekent dat wanneer men eerst het ene doet en dan het andere, dat men dan hetzelfde uitkomt als omgekeerd. Er is een interessant commutatief diagram te tekenen. Als men een vierkant pad tekent en linksboven begint, dan leidt eerst naar rechts gaan en dan naar beneden tot rechtsonder. Maar eerst naar beneden gaan en dan naar rechts ook. Naar beneden gaan commuteert dus met horizontaal van kant wisselen. Laat nu links de wereld van vermenigvuldigen zijn, rechts die van optellen. Dan is naar rechts gaan logaritme nemen, en naar links gaan de exponentiële nemen. Naar beneden gaan is de bewerking doen (vermenigvuldigen of optellen). Door in dit vierkant van boven naar beneden te wandelen, komt men een aantal van de belangrijkste formules verderop uit. Bijvoorbeeld dat de logaritme van een product gelijk is aan de som van de logaritmen.

RationaliteitBewerken

Zijn   en   natuurlijke getallen, dan is   over het algemeen een irrationaal getal. Alleen als er gehele getallen   en   zijn zodat   is de logaritme rationaal, want gelijk aan  .

VerklaringBewerken

Uit   volgt   en dus  .

Links en rechts logaritme nemen levert

 

Bijvoorbeeld, voor   en   geldt  , dus:

 

GeschiedenisBewerken

 
Titelpagina van de logaritmetabellen van Briggs

De Zwitserse klokkenmaker Jost Bürgi, in dienst van de landgraaf van Hessen-Kassel, was de eerste die het begrip logaritme ontwikkelde.

De natuurlijke logaritme werd voor het eerst in 1614 door John Napier genoemd, die beschouwd wordt als de uitvinder van de logaritme. Hij schreef erover in zijn boek Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Aanvankelijk gebruikte Napier het getal 1/e als grondtal. Hij noemde logaritmen "artificial numbers", kunstmatige getallen. Later bedacht hij de term "logaritme", om aan te geven dat het zowel om een verhouding als om een getal ging, van het Oudgrieks: λόγος, logos, in de betekenis van verhouding en άριθμός, arithmos, getal.

Het gebruik van logaritmen droeg door de vereenvoudiging van ingewikkelde berekeningen bij aan de vooruitgang van de wetenschap, speciaal aan de sterrenkunde. De logaritmen verdrongen de ingewikkelder prosthaphaeresis, gebaseerd op goniometrische vergelijkingen, als snelle methode om te vermenigvuldigen. Voor de komst van rekenmachines en computers, werden logaritmen veel gebruikt voor berekeningen, o.a. in de navigatie en de technische wetenschappen.

De Briggse logaritme is genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs. De logaritmetafels met het grondtal   waren zeer moeilijk op te stellen. Ze waren daardoor onnauwkeurig. Briggs stelde voor het grondtal 10 toe te passen. Dit rekende gemakkelijker. Na een bezoek aan Napier in 1615 schreef Briggs zijn eerste werk, Logarithmorum Chilias Prima, Inleiding in de logaritmen, dat in 1617 verscheen. Hij schreef in 1624 nog een wiskundige verhandeling onder de titel Arithmetica Logarithmica. Dit werk bevatte de logaritmen van de natuurlijke getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000 berekend tot op 14 decimale cijfers. Hij stelde die tafels op door met pen en papier de eerste 27 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken met 16 cijfers na de komma. De 27 volgende wortels bepaalde hij met een benaderingsformule. In hetzelfde werk vinden we ook tafels voor de sinus tot 15 decimale cijfers en van de tangens en secans tot op 10 decimale cijfers.

De nog aanwezige leemte in de logaritmetafel, 70%, tussen 20.000 en 90.000 was nog niet berekend, werd in Gouda door de landmeter Ezechiel de Decker opgevuld in twee afzonderlijke uitgaven. In 1626 verscheen zijn Eerste deel der nieuwe telkonst en in 1627 samen met Adriaen Vlacq het Tweede deel van de nieuwe telkonst. De volledige tafels werden in 1628 in Vlacqs Arithematica Logarithmica voor het eerst gepubliceerd.

De uiteindelijke complete tabellen van Briggs werden in 1631 in Gouda gedrukt en in 1633 onder de titel van Trigonometria Britannica gepubliceerd. Dit werk was de opvolger van Briggs' in 1617 gepubliceerde Logarithmorum Chilias Prima. Dit was het eerste rekensysteem dat goed werkte.

ToepassingenBewerken

Herleiden van bewerkingenBewerken

Met behulp van logaritmen kunnen de volgende bewerkingen worden herleid tot optellingen en aftrekkingen.

Vermenigvuldigen
 
Vermenigvuldigen met een rekenliniaal

Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen. Een eigenschap van logaritmen is namelijk dat een vermenigvuldiging omgezet kan worden naar een optelling:

 

Om het product van   en   te berekenen, worden de logaritmen van   en van   bij elkaar opgeteld. Daarna wordt het getal gezocht waarvan dit resultaat de logaritme is. De logaritmen worden niet berekend, maar over en weer opgezocht in tabellen. Deze logaritmetafels (tabellen van getallen met hun logaritme) zijn al eeuwen geleden uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs etc.

Delen

Door logaritmen van elkaar af te trekken kunnen ook delingen uitgevoerd worden.

 
Machtsverheffen

Neemt men twee maal achter elkaar de logaritme, dan kan men door op te tellen een getal verheffen tot een willekeurige macht.

 
Worteltrekken

Neemt men twee maal achter elkaar de logaritme, dan kan men door af te trekken een willekeurige wortel trekken.

 

Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmen gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de rekenmachine zijn zowel logaritmetafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde.

Logaritmische schalenBewerken

  Zie Logaritmische schaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft, dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. De wet van Weber zegt dat de menselijke zintuigen een logaritmische indruk opdoen van de intensiteit van de prikkel.

Bekende logaritmische schalen zijn:

Grootte-ordes en logaritmenBewerken

De logaritme van een getal x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:

logaritme van 1 is 0, want 100= 1
logaritme van 10 is 1, want 101= 10
logaritme van 100 is 2
logaritme van 1000 is 3

De orde van grootte van 3269 is  ; de wetenschappelijke notatie is dan ook 3269=3,269·103.

Het werkt ook voor negatieve machten. De orde van grootte van 0,03269 is  ; de wetenschappelijke notatie is: 0,03269=3,269·10−2.

In een n-tallig talstelsel is het mogelijk om op onderstaande wijze het aantal cijfers voor de komma van een willekeurig getal x te bepalen.

aantal cijfers =  

Het aantal cijfers van een getal in het tientallige stelsel wordt dus bepaald door  .

Berekeningen met grote getallenBewerken

Logaritmen zijn een hulp bij berekeningen met grote getallen, geschreven als een macht, die met een grafische rekenmachine onmogelijk zijn uit te rekenen (zonder herschrijven).

VoorbeeldBewerken

Het berekenen van

 

is onmogelijk met een rekenmachine te doen. Met logaritmen gaat dit wel:

 
 
 
 
 
 
 

We hebben nu de logaritme van het gezochte antwoord berekend. Nu moeten we nog deze macht van 10 berekenen:

 
 
 

Analytische definitie en eigenschappenBewerken

Logaritmische functies zijn de inversen van exponentiële functies en zijn daarom op hun hele domein   continu en onbeperkt afleidbaar.

Analytische definitieBewerken

De natuurlijke logaritme van een positief reëel getal   kan ook worden gedefinieerd als een bepaalde integraal, namelijk de oppervlakte van een figuur begrensd door de grafiek van de functie  

 

Men verifieert dat deze functie voldoet aan de rekenregel   en daaruit volgt dat ze de logaritme is in een bepaalde basis. Die basis,   genaamd, wordt uniek bepaald door de voorwaarde dat haar natuurlijke logaritme 1 moet zijn:

 

LimietenBewerken

Voor logaritmen gelden de onderstaande limieten.

Voor   geldt:

 

Voor   geldt:

 

GrafiekBewerken

In de onderstaande figuur zijn de waarden van de logaritme met grondtal 10, van de Briggse logaritme af te lezen. Omdat de functie naar de limiet   gaat als   (langs de rechterkant) nul nadert, heeft de grafiek een verticale asymptoot aan de linkerrand van het domein: de rechte  . Aan de rechterkant is er geen asymptoot: de functie bereikt willekeurig hoge waarden en de afgeleide blijft positief maar wordt willekeurig klein.

 
Grafiek van de logaritme met grondtal 10

AfgeleideBewerken

Een bijzondere eigenschap van de natuurlijke logaritme is de eenvoudige vorm van z'n eerste afgeleide, namelijk:

 .

Uit de kettingregel volgt namelijk:

 ,

waaruit het gestelde volgt.

Door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme en zijn afgeleide, is het mogelijk om de afgeleiden van andere logaritmen te bepalen.

 

Aangezien   altijd positief is, en   is voor   en   is voor  , is   een strikt stijgende functie als   en een strikt dalende functie als  .

De partiële afgeleide van   naar het grondtal   is

 

Onbepaalde integraalBewerken

Een primitieve functie voor de natuurlijke logaritmische functie wordt gegeven door

 

Dit kan rechtstreeks geverifieerd worden door afleiding van het rechterlid, maar het resultaat kan ook worden teruggevonden door partiële integratie.

Logaritmen in andere getallenverzamelingenBewerken

Logaritmen van complexe getallenBewerken

 
Driedimensionale voorstelling van het reële deel van de natuurlijke logaritme van een complex getal. Op de horizontale assen staan respectievelijk het reële en imaginaire deel van het getal   op de verticale as het reële deel van  
 
Driedimensionale voorstelling van de hoofdwaarde van het imaginaire deel van de natuurlijke logaritme van een complex getal. Deze functie (de argumentsfunctie van complexe getallen) is discontinu op de negatief reële as.

Hierboven was het argument  , het getal waarvan we een logaritme nemen, steeds een positief reëel getal. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar de complexe getallen verschillend van 0 en daarmee ook naar de negatieve getallen. De logaritme van de complexe getallen kan niet voor verschillende grondtallen worden genomen, maar de complexe logaritme van een positief getal   komt met de natuurlijke logaritme   van   overeen.

Het complexe getal   heet een logaritme van  , dus  , als  . Men spreekt van een logaritme omdat er in het algemeen bij   oneindig veel getallen   zijn die als logaritme optreden. Vanwege de identiteit van Euler,  , verschillen de diverse logaritmen van een complex getal een geheel veelvoud van   van elkaar. Schrijft men het complexe getal in poolcoördinaten:

 ,

met absolute waarde   en argument  , dan voor ieder geheel getal   het complexe getal

 

een logaritme van  . De logaritme voor complexe getallen   is een meerwaardige functie:

 .

Het is gebruikelijk het argument   zo te definiëren dat  . Deze waarde van de logaritme, dus met  , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Negatieve getallen zijn complexe getallen. Bijvoorbeeld   is een complex getal op de eenheidscirkel met argument  . De logaritme van −1 heeft daarom een hoofdwaarde van  .

Uit deze definitie van de logaritme van een complex getal volgen ook de identiteiten voor het reële en het imaginaire deel (van de hoofdwaarde) afzonderlijk:

 
 

Logaritmen van quaternionenBewerken

Het is mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar quaternionen.

Een quaternion   heet een logaritme van  ,  , als  .

Men spreekt van een logaritme omdat er bij   oneindig veel getallen   zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van  , waarin   de eenheidsvector is die overeenkomt met  , zodanig dat   en

 .

Dit komt doordat  .

Schrijft men   als:

 ,

met absolute waarde  , argument   en eenheidsvector  , dan is elk van de getallen

 

een logaritme van  . De logaritme voor quaternionen   is een meerwaardige functie:

 .

(N.B. Het is gebruikelijk het argument   zo te definiëren dat  .)

De waarde van de logaritme voor  , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Voor twee quaternionen   en   geldt:

 

Dit is opnieuw een meerwaardige functie die afhangt van twee gehele getallen   (behorend bij  ) en   (behorend bij  ). Stelt men nu  , dan krijgt men de hoofdwaarde van  

ReeksontwikkelingBewerken

 
Nauwkeurigheid van de opeenvolgende benaderingen van de natuurlijke logaritme door partieelsommen van de Taylorreeks. In deze illustratie zijn de assen een eenheid naar rechts verschoven, we zien dus de taylorreeks van   rond   absoluut convergent in het open interval   De rode kromme is de grafiek van de logaritme zelf. De beige kromme is de benadering van de 3de graad; de blauwe van de 10de graad en de lichtgroene kromme geeft de taylorbenadering tot en met graad 25.

Logaritmen zijn analytische functies en kunnen dus worden benaderd door machtreeksen, evenwel niet door een reeks in machten van   (d.w.z. gecentreerd rond 0, ook wel maclaurin-reeks genoemd) omdat 0 niet tot het domein van de logaritme behoort. Het punt 0 is ook geen geïsoleerde singulariteit, zodat een laurentreeks (reeksontwikkeling met inbegrip van negatieve machten) evenmin bestaat.

De reeksontwikkeling van de natuurlijke logaritme rond   wordt gegeven door

 

Deze reeks bevat geen nulde-ordeterm (constante) omdat de logaritme van 1 reeds 0 is. Haar convergentiestraal is 1, dat wil zeggen dat ze absoluut convergeert voor alle complexe getallen   waarvoor   en divergeert als  

Voor   wordt dit de alternerende harmonische reeks, die convergeert (maar niet absoluut convergeert) naar  

Bovenstaande formule volgt bijvoorbeeld uit integratie term per term van de meetkundige reeks

 

Voor een algemeen grondtal   is de logaritme een constant veelvoud van de natuurlijke logaritme, dus haar reeks bestaat uit dezelfde termen, gedeeld door de natuurlijke logaritme van  

 

Voor getallen buiten het convergentiegebied   kan in principe analytische voortzetting worden gebruikt; voor reële   is het evenwel eenvoudiger de oorspronkelijke reeks toe te passen op   gedeeld door een voldoende groot getal waarvan de natuurlijke logaritme bekend wordt verondersteld, bijvoorbeeld een macht van twee. Stel   met een natuurlijk getal   zo gekozen dat   dan is

 
 

Dit is dan de Taylorreeks van   rond   ze heeft convergentiestraal  

Logaritme van vierkante matricesBewerken

In deze paragraaf beschouwen we matrices waarvan de elementen reële getallen zijn; de begrippen en redeneringen gaan evenwel net zo goed op voor complexe matrices.

De verzameling der vierkante  -matrices vormt een algebra, dat wil zeggen dat matrices niet alleen kunnen worden vermenigvuldigd met een reëel getal en bij elkaar worden opgeteld, maar dat matrices ook onderling met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd. Daardoor kan een vierkante matrix   ook tot de  -de macht worden verheven voor ieder willekeurig natuurlijk getal   en dit geeft op zijn beurt een betekenis aan de afzonderlijke termen van de taylorreeks

 

waar   de eenheidsmatrix van dezelfde afmetingen als   is.

Om over convergentie en limieten van dergelijke reeksen te kunnen spreken, hebben we een convergentiebegrip voor vierkante matrices nodig; vaak wordt daarvoor de operatornorm gebruikt:

 

De taylorreeks hierboven convergeert als   en definieert dus (althans voor matrices die "dicht" bij de eenheidsmatrix liggen) de natuurlijke logaritme van een vierkante matrix. Ook hier is de logaritme de inverse van de exponentiële functie, op voorwaarde dat we de exponentiële functie ook via haar Taylorreeks definiëren. De logaritme van de eenheidsmatrix is de nulmatrix. De rekenregel   geldt evenwel alleen als   en   commuterende matrices zijn, dat wil zeggen als