De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is:

,

of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt:

De integratie door substitutie is een van de meest gebruikte technieken om de primitieve functie van een gegeven functie te vinden en volgt uit deze kettingregel.

Formalisering bewerken

Laat   en   open intervallen zijn en   en   functies met  . Als   differentieerbaar is in het punt   en   differentieerbaar in het punt  , dan is de samenstelling   differentieerbaar in  , en er geldt:

 

Schets van een bewijs bewerken

 
 
 
 
 
 

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat

 

zodat in het bewijs door 0 zou worden gedeeld.

Toepassing bewerken

Voorbeelden bewerken

De functie

 

is de samenstelling van de functies

 

en

 

De afgeleide van   kan met de kettingregel worden bepaald:

 

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

 

Deze functie is een 'ketting'

 

van de functies:

 
 
 
 

De afgeleiden van deze functies zijn:

 
 
 
 

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

 

dus:

 

en na invullen

 

Inverse functie bewerken

Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie   en daarvan de inverse  .

Er geldt immers:  , zodat volgens de kettingregel:

 

zodat

 

Toepassing bewerken

De afgeleide van de arcsinus:

 

Reciproque bewerken

De afgeleide van de reciproque   van een functie   kan ook met de kettingregel worden bepaald. Er geldt immers:  , met  , zodat volgens de kettingregel:

 

Meer dan een variabele bewerken

Stel dat   de samenstelling is van de afbeeldingen   en   in meer dan een variabele. Bijvoorbeeld

 

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies   en   in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

 

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval   ook differentieerbaar is in   en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van   en  

 

Als de betrokken lineaire afbeeldingen als rechthoekige matrices worden opgevat, die uit alle mogelijke partiële afgeleiden bestaan, dan is de matrix van   gelijk aan het product van de matrices van   en  .

  met   en  

Bijvoorbeeld voor  :

 

Met aanvullend   en   geeft dit:

Als  , dan

 

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.