Kettingregel

De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is:

,

of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt:

FormaliseringBewerken

Laat   en   open intervallen zijn en   en   functies met  . Als   differentieerbaar is in het punt   en   differentieerbaar in het punt  , dan is de samenstelling   differentieerbaar in  , en er geldt:

 

Schets van een bewijsBewerken

 
 
 
 
 
 

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat

 

zodat in het bewijs door 0 gedeeld zou worden.

ToepassingBewerken

VoorbeeldenBewerken

De functie

 

is de samenstelling van de functies

 

en

 

De afgeleide van   kan bepaald worden met de kettingregel:

 


De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

 

Deze functie is een "ketting"

 

van de functies:

 
 
 
 

De afgeleiden van deze functies zijn:

 
 
 
 

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

 

dus:

 

en na invulling

 

Inverse functieBewerken

Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie   en z'n inverse  .

Er geldt immers:  , zodat volgens de kettingregel:

 ,

zodat

 .
Toepassing

De afgeleide van de boogsinus:

 

ReciproqueBewerken

Met de kettingregel kan ook de afgeleide bepaald worden van de reciproque   van een functie  . Er geldt immers:  , met  , zodat volgens de kettingregel:

 

Meer dan één veranderlijkeBewerken

Stel dat   de samenstelling is van de vectorwaardige functies   en   in meer dan één veranderlijke. Bijvoorbeeld

 

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies   en   in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

 

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval   ook differentieerbaar is in  , en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van   en  

 

Als de betrokken lineaire afbeeldingen opgevat worden als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van   gelijk aan het product van de matrices van   en  . Uitdrukkelijk:

 

Bijvoorbeeld voor  :

 

Met aanvullend   geeft dit:

Als   (met   argumenten  ) dan

 

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.

Zie ookBewerken